Milnor 予想篇：§§ 5, 6 ガロアコホモロジーと Be-Li 予想

§5 と §6 では、Bloch-Kato 予想の証明を、次数に関する帰納法で遂行する際に用いる、技術的な命題を証明しています。

§5 に出てくる対象は、体の Milnor K群とガロアコホモロジーのみで、引用する結果は Bass-Tate に載っている巡回拡大に関する一事実だけです。議論は巧妙ですが基本的な関手性以上の道具立ては用いません。アイデアは Suslin や Merkurjev-Suslin の先行研究から採っているようです。

§6 は、より大域的な手法を必要とする内容です。(体の有限次拡大だけではなく、多様体の関数体を使う。それに伴い、多様体の圏で motivic cohomology のよい理論が確立していることを必要とする。)

このブログでは焦点をホモトピー論と 2 次形式に絞りたいので、ここでは結果のみを紹介することにします。

§5 の設定

次数 \( \le w\) , 標数 \( \neq l \) の Bloch-Kato 予想を次の形で定式化します。

BK\( (w,l)\) が成立するとは：

● 標数 \(\neq l\) の任意の体 \(k\) に対して、写像 \[
K_q^M(k)/l \to H^q_{Gal}(k,\mu _l^{\otimes q} ) \qquad q\le w
\] が同型であり、

● 標数 \(\neq l\) の体の次数 \( l\) の任意の巡回拡大 \( E/k\) に対して、\( σ\in \mathrm{Gal}(E/k)\cong \mathbf{Z}/l\) を (任意の) 生成元とするとき、列 \[
K_q^M(E)\xrightarrow{1-σ }K_q^M(E)\xrightarrow{N_{E/k} } K_q^M(k)\qquad q\le w
\] が完全であることとする。

 ふたつめの条件はもちろん、Hilbert Satz 90 (巡回拡大に関するバージョン) の Milnor K類似ですね。

§5 の結果

この節の最終結果である次の定理は、「とても大きな体に対しては BK\((w,l)\) から BK\( (w+1,l) \) が導ける」という感じの主張です。

定理 [\(\mathbf{Z}/2\)-coeffi., Theorem 5.9]　BK\( (w,l) \) を仮定し、体 \( k\) は標数 \( \neq l\) の体であって条件

● \(k\) は次数 \( l\) 冪の拡大体しか持たず、\( K_{w+1}^M(k)/l =0\).

を満たすとする。このとき \[ H^{w+1}_{Gal}(k,\mathbf{Z}/l)=0. \]

 定理の仮定のもとで、ガロア加群として \( \mu _l^{\otimes w+1}\cong \mathbf{Z}/l \) であり (1 の原始 \(l\) 乗根を添加する拡大は次数 \( l - 1\) だからです)、したがって結論であるガロアコホモロジーの消滅は BK\( (w+1,l)\) の前半部が \(k\) に対して成り立つことを述べていることに注意してください。

ちなみに、§5 の途中では BK\( (w+1,l)\) の後半も同じ仮定のもとで成り立つことが説明されています。この事実は、じつは本定理の証明に使っていますが、別の形で他所で利用することはないようです。

§6 の設定と結果

\( \mathbf{Z}(q)\) を通常の Voevodsky の複体の層とし、Lichtenbaum cohomology をその etale コホモロジーと定義します：\[
H_L^{p,q}(X,\mathbf{Z}):=H_{et}^{p}(X,\mathbf{Z}(q) )
\] \( \mathbf{Z}/l \) 係数の場合も同様に定義します。\(l\) が標数と素な場合には \( \mu _l^{\otimes q} \) の etale コホモロジーと同型になることが知られています (Lecture Notes か Geisser-Levine を見よと書いてあります。\(q=0,1\) の場合は簡単で、一般には積 \( (\mathbf{Z}/l)^{\otimes q}\to \mathbf{Z}/l (q)  \) が etale 位相で同型になるところが非自明なのだと思われます)。

H90\( (n,l) \) が成り立つとは、任意の体 \( k\) に対して \[ H^{n+1,n}_L (Spec(k),\mathbf{Z}_{(l)} ) =0 \] が成り立つことをいう。

\( n=1\) のときに \( H^{2,1}_L (Spec(k),\mathbf{Z} )= H^{1}_{et}(Spec(k), \mathbf{G}_m ) \) であることから H90 と名付けられています。

H90 \( (n,l)\) は、motivic cohomology に関する Beilinson-Lichtenbaum 予想の特別な場合です。\( \pi \colon (Sm)_{et} \to (Sm)_{N is} \) を sites の標準的な写像とするとき、\( (Sm)_{N is}\) 上の層の射 \[ \mathbf{Z}(q)\to τ^{\le q+1}R\pi _* \mathbf{Z}(q)_{et} \tag{Beilinson-Lichtenbaum 予想}\] が擬同型であるというのが Beilinson-Lichtenbaum 予想です (でした)。Voevodsky や Bloch のサイクル複体では、\( \mathbf{Z}(q)\) はコホモロジー次数 \( \le q\) 部分にしか非自明な項を持っていないので、この予想は特に「\( R^{q+1}\pi _* \mathbf{Z}(q)_{et} \) は 0 である」と言っています。

したがって、Beilinson-Lichtenbaum 予想のもとでは、これを \( Spec(k) \) で evaluate した \[ H^{q+1,q}_L (Spec(k),\mathbf{Z}_{(l)} ) \] は 0 になります。つまり、H90\( (n,l)\) はBeilinson-Lichtenbaum 予想の一部です。

逆に、H90\( (n,l) \) から Beilinson-Lichtenbaum 予想 (\(\mathbf{Z}_{(l)} \) 係数の) を導くことができるのも Suslin-Voevodsky や Geisser-Levine によって知られています：\[
H90(n,l) \qquad\Rightarrow\qquad \bigl\{ \mathbf{Z}_{(l)}(n) \xrightarrow{\sim }τ^{\le n+1}R\pi _* \mathbf{Z}_{(l)} (n)_{et}\bigr\} .
\] 両辺に \( \mathbf{Z}/l \) を (導来) テンソルして \( Spec(k)\) 上で \(n\) 次コホモロジーをとると、左辺 \(H^{n,n}\) は Nesterenko-Suslin, Totaro 同型により Milnor K になり、右辺 \( H^{n,n}_L\) は冒頭で述べた \( \mu _l^{\otimes n}\) 係数 etale コホモロジーとの比較があるので、\[ K_n^M(k)/l \xrightarrow{\quad\cong\quad }H^n_{et}(Spec (k),\mu _l^{\otimes n}) \] を得ます。つまり、H90\( (n,l) \) から Suslin-Voevodsky, Geisser-Levine のお陰で、Bloch-Kato 予想 ( BK\( (n,l)\) の前半) が出ます。

§6 では、BK\( (n,l)\) 後半も H90\( (n,l)\) から従うことが示されています。結論として：

[\(\mathbf{Z}/2\)-coeff., Cor. 6.10 & Lem. 6.11]

\[  H90(w,l) \qquad\Rightarrow\qquad BK(w,l). \]

 というわけで、以下では etale cohomology の消滅 \[ H^{w+1,w}_L (Spec(k),\mathbf{Z}_{(l)} )=0 \tag{H90\( (w,l)\) }\] を証明するのが目標ということになります。

この証明に次の記事から入っていきます。 

もう少し Beilinson-Lichtenbaum 予想の帰結 

 層の複体 \( K(q)\in DM(k) \) を次の完全三角形で定義します。

\[ \mathbf{Z}(q)\to τ^{\le q+1}R\pi _* \mathbf{Z}(q)_{et} \to K(q)\to . \]

 Beilinson-Lichtenbaum 予想はこの対象が零であることと同値なわけですが、導来圏の対象としての \( K(q)\) を相手にすることで証明のステップが考えやすくなります。

補題　\( char(k)\neq l\), H90\((w-1,l) \) のもとで、任意のスムーズスキーム \(X\) に対して、次の写像は同型である。\[ H^{*}(X,K(w)\otimes\mathbf{Z}_{(l)} )\to H^{*}(X\times (\mathbf{A}^1-\{ 0\} ),K(w)\otimes\mathbf{Z}_{(l)} ). \]

(したがって、simplicial scheme \( \mathcal{X}\) に対しても同様の事実が成り立つ。 )

 この証明は、標語的にいうと、「Tate 対象 \(T=\frac{\mathbf{A}^1-\{0\} }{ \{ 1\} } \) にかんする懸垂同型が Nis/et motivic cohomologies で成立することにより、\( H^*(X_+ {}_{\Lambda } T ,K(w)_{(l)} ) \cong H^{*-1}(X,K(w-1)_{(l)} ) \) だが、仮定により \( K(w-1)_{(l)} \) は消えている」というものです。

系　H90\( (w-1,l) \) を仮定し、\( char(k)\neq l\) とする。\( X\) をスムーズスキームとし、\( U\subset X\) を稠密開集合とする。このとき制限写像 \[ H^*(X,K(w)_{(l)} )\longrightarrow H^*(U,K(w)_{(l)} ) \] は全単射である。

\(k\) を素体上のスムーズ代数の極限として書くことにより、\( X\) が完全体上スムーズとしてよいです。このとき補集合 \( X\setminus U \) のスムーズスキームによる stratification をとり、小さい strata から順に \(X\) から除いていく状況を考えることで、補集合 \(Z=X\setminus U \) も \(k\) 上スムーズとして良いです。このとき台付きコホモロジー \( Ri^!_Z K(w)_{(l)} \) は Nis/et cohomologies の purity により、より低い weight の理論 \( K(q)_{(l)}\ (q<w) \) で書けますが、H90\( (w-1,l)\) を仮定しているので、この複体は 0 です。