Milnor 予想篇：§7 主定理の証明

§§ 5, 6 で、Bloch-Kato 予想が次の主張から従うことを、一応説明しました。

目標：\[ H^{w+1,w}_L (Spec(k),\mathbf{Z}_{(l)} )=0 \tag{H90\( (w,l)\) }\]

これを考える上で役に立つ事実として、§5 で次のことがわかっているのでした。

定理 [\(\mathbf{Z}/2\)-coeffi., Theorem 5.9]　BK\( (w,l) \) を仮定する (たとえば、H90\( (w,l)\) のもとでこれは満たされる)。このとき、条件

● \(k\) は次数 \( l\) 冪の拡大体しか持たず、\( K_{w+1}^M(k)/l =0\).

を満たす標数 \( \neq l\) の体 \( k\) に対して次が成り立つ： \[ H^{w+1,w}_{L}(Spec(k),\mathbf{Z}/l)=0. \]

 §7 では H90\( (w,l)\) の \(l=2\) の場合を証明しています。

大きな体の場合

まずは H90\( (< w,2)\) を仮定した場合に、上記の定理の仮定を満たす体に対しては H90\( (w,2)\) が成立することを素早く見ましょう。ガロア加群として \( \mathbf{Z}/2 \cong \mu _2 \) でした。いま、H90\( (w-1,2)\) と定理5.9から \( H^{w}_{et}(Spec(k), \mathbf{Z}/2 )=0  \) なので、係数に関する完全列 \[  0\to \mathbf{Z}_{(2)}(w) \to\mathbf{Z}_{(2)}(w) \to \mathbf{Z}/2 (w) \to 0 \] と合わせると \( H^{w+1}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)}(w) ) \) が torsion free とわかります。なので、この群は \[ H^{w+1}_{et}(Spec(k),\mathbf{Q} (w) ) \] に単射で写ります。が、一般論で、\( \mathbf{Q}\) 係数では et と Nis で差はありませんので、これは \(H^{w+1}_{N i s}(Spec(k),\mathbf{Q} (w) )\) に同型です。しかし \( \mathbf{Z}(w)\) はコホモロジー次数 \( \le w\) にしか非自明な項を持ちませんので、この Nisnevich コホモロジーは 0 です。

 以上で、条件「\(k\) は次数 \( 2\) 冪の拡大体しか持たず、\( K_{w+1}^M(k)/l =0\)」を満たす体に対しては H90\( (<w,2)\) から H90\( w,2\) が従うことがわかりました。

一般の場合

消滅問題 \( H^{w+1}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)}(w) ) =0 \) を上のような「大きな体」に帰着するために、次のような体の構成問題を解けばよいです。

体の構成問題　与えられた体 \( k\) と、\( k^*\) の元の組 \( a_1,\dots ,a_w \) に対して、拡大体 \( k\subset K \) であって、コホモロジーの写像 \[  H^{w+1}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)} (w) )\to H^{w+1}_{et}(Spec(K),\mathbf{Z}_{(2)} (w) ) \] が単射かつ \( \{ a_1,\dots ,a_n\} \in K^M_w(K )/ 2 \) が 0 であるものを構成せよ。

 これが出来れば何故よいのかを、念のため丁寧に見ましょう。体の構成問題を、あらゆるシンボル \( \{ a_1,\dots ,a_w\} \in K_w^M(k) \) に対して超限回おこない、得た体に奇数次の拡大体をすべて添加するという拡大 \( k\subset \Omega _1 \) をとります。すると \(\Omega _1\) は次数が 2 冪の拡大体しか持たず、\( K_w^M(k)/2 \to K_w^M(\Omega _1)/2 \) は零写像です。同じことを \(\Omega _1\) に対して行って \(\Omega _1 \subset\Omega _2 \) を作ります。これを加算無限回おこなって、すべての合成体を \(\Omega _\infty = \bigcup _{i\ge 1} \Omega _i \) とします。これに関して、\[ K_w^M(\Omega _\infty )/2 =0 \] です。なぜなら、この群の元はすべて、有限の段階 \(K_w^M(\Omega _i )/2 \) から来ますが、\( \Omega _{i+1}\) の構成により、\(K_w^M(\Omega _i )/2 \to K_w^M(\Omega _{i+1} )/2\) は零写像だからです。

同様の議論により、\( \Omega _\infty \) の有限次拡大は次数が 2 冪のものしかありません。じっさい、\( \Omega _\infty \) 係数の奇数次の多項式 \( f(x)\) が既約だと仮定します。このとき、\(f\) の係数は有限個なので、ある \( \Omega _i \) にすべて含まれています。そして、構成から \( \Omega _i \) は奇数次の拡大体を持たないので、\( f\) は \( \Omega _i\) 係数多項式として既約ではありえません。これは始めの \(f\) のとり方から生じる矛盾なので、\( \Omega _\infty \) が奇数次の拡大体を持たないことがわかりました。

 というわけで \( \Omega _\infty \) が上の条件を満たすような「大きな体」とわかりました。ので、「大きな体の場合」により、H90\( (w-1,2)\) の仮定のもと、コホモロジーの消滅 \[  H^{w+1}_{et}(Spec(\Omega _\infty ), \mathbf{Z}_{(2)} (w) )=0 \] が結論されます。

一方、拡大 \( k\subset\Omega _\infty  \) が誘導する \[
H^{w+1}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)} (w) )\to H^{w+1}_{et}(Spec(\Omega _\infty ),\mathbf{Z}_{(2)} (w) )
\] は (単射の合成なので) 単射です。\( \mathbf{Z}_{(2)}\) 係数なので、奇数次の体拡大に対して制限写像が単射であることも用いています。よって、左辺の消滅も結論されます。

 以上により、H90\( (w,2)\) が体の構成問題に帰着されました。この問題に対する Voevodsky の答えは、シンボル \( \underline{a}=\{ a_1,\dots ,a_w\} \) から定まる 2 次超曲面 \( Q_{\underline{a} } \) の関数体です。\( K_w^M(k(Q_{\underline{a}} ) )/2 \) の中で \( \{ a_1,\dots ,a_w\} \) が 0 になることは以前の記事でも確認しました。ガロアコホモロジーの制限写像の単射性が主要な課題です。

これは次の記事で説明します。

残った課題：\( a_1,\dots ,a_w \) を \(k^*\) の任意の元とするとき、ガロアコホモロジーの写像 \[ H^{w+1,w}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)}) \to H^{w+1,w}_{et}(Spec(k(Q_{\underline{a}}) ),\mathbf{Z}_{(2)}) \] が H90\( (w-1,2) \) のもと単射である。