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Milnor 予想

Milnor 予想篇:§3 Margolis ホモロジーの消滅

次の問題を解決したいのでした。 問題 \( a_1,\dots ,a_w \in k^*\) とする。スキーム \( Q_{\underline{a}}\) を、次の方程式で定まるものとする。 \[Q_{\underline{a}}:=\bigl\{ \langle\langle a_1,\dots ,a_{w-1}\rangle\rangle = a_w t^2 \bigr\}\subse…

Milnor 予想篇:§2 次数写像

前回までに、Milnor 予想の証明は次の問題に帰着されていました。 問題 \( a_1,\dots ,a_w \in k^*\) とする。スキーム \( Q_{\underline{a}}\) を、次の方程式で定まるものとする。 \[Q_{\underline{a}}:=\bigl\{ \langle\langle a_1,\dots ,a_{w-1}\rangle…

Milnor 予想篇:§7 後半。単射性の証明

この記事ではつぎの主張の証明を解説します。 残った課題:\( a_1,\dots ,a_w \) を \(k^*\) の任意の元とするとき、ガロアコホモロジーの写像 \[ H^{w+1,w}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)}) \to H^{w+1,w}_{et}(Spec(k(Q_{\underline{a}}) ),\mathbf{Z}_{(2…

Milnor 予想篇:§7 主定理の証明

§§ 5, 6 で、Bloch-Kato 予想が次の主張から従うことを、一応説明しました。 目標:\[ H^{w+1,w}_L (Spec(k),\mathbf{Z}_{(l)} )=0 \tag{H90\( (w,l)\) }\] これを考える上で役に立つ事実として、§5 で次のことがわかっているのでした。 定理 [\(\mathbf{Z}/…

Milnor 予想篇:§§ 5, 6 ガロアコホモロジーと Be-Li 予想

§5 と §6 では、Bloch-Kato 予想の証明を、次数に関する帰納法で遂行する際に用いる、技術的な命題を証明しています。 §5 に出てくる対象は、体の Milnor K群とガロアコホモロジーのみで、引用する結果は Bass-Tate に載っている巡回拡大に関する一事実だけ…

Milnor 予想篇:§4 おわり

設定を思い出しましょう。\( k\) を標数 \(\neq 2\) の体とし、\(k^*\) の元の列 \( \underline{a}=(a_1,\dots ,a_n)\) を任意に取ります。 2次超曲面 \( Q_{\underline{a}} \subset \mathbf{P}^{2^{n-1}}\) を方程式 \[\langle\langle a_1,\dots ,a_{n-1}\r…

Milnor 予想篇:Rost のノルム原理

この記事では Rost のノルム原理と呼ばれる定理の証明を解説したいですが、勉強中です。。。

Milnor 予想篇:§4 つづき。Rost motive の構成

この記事は Karpenko の 4 ページからなるノート「A shortened construction of the Rost motive」を見ながら書いています。チンタラ書くので、Chow 群のリテラシーのある方は、Karpenko の論文を読む方が絶対に速いです。 定理の主張 定理の証明 (補題 1) …

Milnor 予想篇:§4 つづき。2 次超曲面の Chow 群

\( \mathbf{Z}/2\) 係数の Bloch-Kato 予想が一般の係数に先行して解けたのは、2 次形式の理論を利用して作った多様体が、証明を便利に回す歯車として使えるからです。 ただし、Voevodsky 論文じたいでは、2 次形式の理論は、表立って論じられません。すべて…

Milnor 予想篇:§4 ノルム多様体とそのモチーフ

体 \( k\) の有限個の可逆元 \( a_1,\dots ,a_n\in k^* \) に対して、Pfister form を次のテンソル積で定義します。 \[\langle\langle a_1,\dots ,a_n\rangle\rangle := \langle 1,-a_1 \rangle \otimes \dots \otimes \langle 1,-a_n \rangle .\] これは \(…

Milnor 予想篇:論文「Motivic cohomology with \( \mathbf{Z}/2\)-coefficients」

前の記事までで、論文「Reduced power operations in motivic cohomology」の本質部分はさらったと思われるので、次の記事からは、Milnor 予想 (Bloch-加藤予想の \( \mathbf{Z}/2\) 係数の場合) を扱った論文「Motivic cohomology with \( \mathbf{Z}/2\)-c…