In a paper on rational points on varieties, they exploit the Green-Tao-Ziegler theorem. One way to state the theorem is as follows. Let $L_i(x,y)\in \mathbb Z [x,y]$ (i=1, ..., r) be finitely many homogeneous polynomials of degree 1 and as…

数列の均等分布の理論が説明されていて面白そうです。 第1章は、証明を付けて欲しいところなのに演習問題とされているものが少々多すぎますね。 Exercise 1.1.16 Single-scale均等分布を仮定するとasymptotic均等分布が出るのは割と自明です。 逆を示すには…

学部時代（2000's）に教わったC言語とGNU plotのスキルのみで、このAI時代の荒波に立ち向かおうと奮闘しているわけですが、、、 C言語による計算 C言語はmacのパソコンなら開封した瞬間から使えるようです。C言語の基礎的なことはオンラインでも学べます。例…

Each lecture hopefully requires only 1 hour. Part 1: Introduction - 3 lectures - [L] Part 2: Generalities of Nilsequences - 2 or 3 lectures - [Q] Part 3: Equidistribution - 2 lectures - [Book] and [P] Part 4: MN(s) - 1 lecture - [M] Part 5…

Gowersノルムは、整数$s\ge 0$を固定するごとに与えられます。有限アーベル群$Z$上の関数$f\colon Z\to \mathbb C$に対して定義されます。$\Vert f \Vert _{U^{s+1} (Z) }$は次の値の$2^{s+1}$乗根です：\[ \Vert f \Vert _{U^{s+1}(Z)} ^{2^{s+1} }:= \math…

Baker-Campbell-Hausdorffの定理というものがあります (Wikipedia)。$G$をリー群、$\mathfrak g$をそのリー環、$X\mapsto e^X$をその指数関数とするとき、$X,Y\in \mathfrak g$が十分原点に近い範囲で、\[ e^X e^Y =e^Z \text{ と書く時, }Z= X+Y+\frac 1 2 …

線型方程式に関する勉強をしています。 この記事では、冪零列 (nilsequence) の概念を考えたいと思います。この概念は、リンク先の論文の §8 で説明されています。Green氏による2014年の連続講義がYouTubeのIHESのチャンネルに上がっているので、勉強になる…

あとまわしにしていましたが、整数係数2変数2次形式と、2次体の整環の可逆分数イデアルの間のすばらしい対応についてまとめて置きたいと思います。 筆者は谷口氏の記事「高次合成則入門」で初めに知りました：http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bes…

$\mathcal O$を1次元Noether整域とします。応用したいのは、$\mathcal O$が数体の整環の場合です。 $K$を$\mathcal O$の商体とします。 定義 $K$の部分$\mathcal O$-加群$\mathfrak a \subset K$が分数イデアルであるとは、$\mathcal O$-加群として有限生成…

$\overline{\mathbb F}_p$係数表現の$\mathbb C$係数への持ち上げ (Brauer持ち上げ。指標経由のものと, Serreの本のもの) K群の計算で使う例 まず$\mathbb C$係数の話を少し思い出します。 $G$が有限群で, 有限次元$\mathbb C$ベクトル空間$V$に作用している…

l.c.i. 性 Higher Algebra §7.2.4では、加群の2つのレベルの有限性---perfect性と、almost perfect性---が導入されています。 代数に関しては、有限表示、局所有限表示、概(almost)有限表示という3つの概念が導入されています。概有限表示は定義が若干複雑で…

Lurie "Higher Algebra" の§7を勉強しています。 $\mathbb E _1$-環とは、スペクトラの世界における、環（1をもち、結合的な）の概念の対応物でした。 すなわちスペクトラム$R$であって、演算$R {}_{\Lambda }R \to R$と単位元$\mathbb{S}\to R$がデータとし…

次の問題を解決したいのでした。 問題 \( a_1,\dots ,a_w \in k^*\) とする。スキーム \( Q_{\underline{a}}\) を、次の方程式で定まるものとする。 \[Q_{\underline{a}}:=\bigl\{ \langle\langle a_1,\dots ,a_{w-1}\rangle\rangle = a_w t^2 \bigr\}\subse…

前回までに、Milnor 予想の証明は次の問題に帰着されていました。 問題 \( a_1,\dots ,a_w \in k^*\) とする。スキーム \( Q_{\underline{a}}\) を、次の方程式で定まるものとする。 \[Q_{\underline{a}}:=\bigl\{ \langle\langle a_1,\dots ,a_{w-1}\rangle…

この記事ではつぎの主張の証明を解説します。 残った課題：\( a_1,\dots ,a_w \) を \(k^*\) の任意の元とするとき、ガロアコホモロジーの写像 \[ H^{w+1,w}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)}) \to H^{w+1,w}_{et}(Spec(k(Q_{\underline{a}}) ),\mathbf{Z}_{(2…

§§ 5, 6 で、Bloch-Kato 予想が次の主張から従うことを、一応説明しました。 目標：\[ H^{w+1,w}_L (Spec(k),\mathbf{Z}_{(l)} )=0 \tag{H90\( (w,l)\) }\] これを考える上で役に立つ事実として、§5 で次のことがわかっているのでした。 定理 [\(\mathbf{Z}/…

§5 と §6 では、Bloch-Kato 予想の証明を、次数に関する帰納法で遂行する際に用いる、技術的な命題を証明しています。 §5 に出てくる対象は、体の Milnor K群とガロアコホモロジーのみで、引用する結果は Bass-Tate に載っている巡回拡大に関する一事実だけ…

設定を思い出しましょう。\( k\) を標数 \(\neq 2\) の体とし、\(k^*\) の元の列 \( \underline{a}=(a_1,\dots ,a_n)\) を任意に取ります。 2次超曲面 \( Q_{\underline{a}} \subset \mathbf{P}^{2^{n-1}}\) を方程式 \[\langle\langle a_1,\dots ,a_{n-1}\r…

この記事では Rost のノルム原理と呼ばれる定理の証明を解説したいですが、勉強中です。。。

前の記事の補題 2 の証明 Rost の冪零定理 前の記事の補題 2 の証明 補題 2 を便宜のため再掲します。 補題 2 非特異な 2 次超曲面 \(X/k\) と、元 \( \rho \in \mathrm{End}_{DM(k)}(X) \) について、或る体拡大 \( K/k\) ののちに ρ が冪等になるならば、…

この記事は Karpenko の 4 ページからなるノート「A shortened construction of the Rost motive」を見ながら書いています。チンタラ書くので、Chow 群のリテラシーのある方は、Karpenko の論文を読む方が絶対に速いです。 定理の主張 定理の証明 (補題 1) …

\( \mathbf{Z}/2\) 係数の Bloch-Kato 予想が一般の係数に先行して解けたのは、2 次形式の理論を利用して作った多様体が、証明を便利に回す歯車として使えるからです。 ただし、Voevodsky 論文じたいでは、2 次形式の理論は、表立って論じられません。すべて…

体 \( k\) の有限個の可逆元 \( a_1,\dots ,a_n\in k^* \) に対して、Pfister form を次のテンソル積で定義します。 \[\langle\langle a_1,\dots ,a_n\rangle\rangle := \langle 1,-a_1 \rangle \otimes \dots \otimes \langle 1,-a_n \rangle .\] これは \(…

前の記事までで、論文「Reduced power operations in motivic cohomology」の本質部分はさらったと思われるので、次の記事からは、Milnor 予想 (Bloch-加藤予想の \( \mathbf{Z}/2\) 係数の場合) を扱った論文「Motivic cohomology with \( \mathbf{Z}/2\)-c…

これは、前の記事からの続きです。 ふたつの定理の主張を繰り返しておきます。 多次元 corner 定理 n を自然数とし、\( A\subset \mathbb{Z}^n \) を corner-free な部分集合とする。このとき \[ \# (A\cap [ -N,N ]^n) = o(N^n) \quad \text{ as } N\to \in…

この記事は、せきゅーんさんの Green-Tao 定理に関するブログに触発されて書いたものです。 Hypergraph removal lemma から多次元 Szemerédi 定理の導出は、有限加法群版を経由する方法が日本ではポピュラーです。 が、Solymosi の方法をまねて、多次元版 Sz…

ここまでの節で、おこなったことを振り返ります。 まず、体 \( k\) 上の motivic Steenrod 代数 \( A^{*,*}\) を定義し、admissible 単項式 \( Sq^I\) のなす集合が \( A^{*,*} \) の \( H^{*,*}\) 上の線型基底となっていることを確認しました。 その次に、…

この記事では \( A_{*,*} \) の余積をかんたんに説明します。 非可換な場合のペアリングの定義 モチビック双対 Steenrod 代数の余積 まずは、最も簡単な、可換環の場合を先に少し復習します。\( k\) を可換な基礎環とし、\( A^* \) を \( k\) 上の次数付き環…

この節では、古典論と同様に、motivic Steenrod algebra \( A^{*,*}\) の双対 \( A_{*,*}\) を定義し、古典論と並行な性質を証明しています。今日も係数は \( \mathbf{Z}/2\) とします。 古典論では、Steenrod algebra \( A^* \) の双対 \( A_* \) は、p 次…

基礎体 \( k\) 上のモチーフの世界での Steenrod 代数を定義し、Hopf 代数構造が入っていることを確認する節です。本ブログでは \(\mathbf{Z}/2\) 係数に集中することにします。モチーフの世界では、点 pt のコホモロジー環が \( \mathbf{Z}/2 \) よりも真に…