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余微分とラプラス作用素

この記事では、向き付きリーマン多様体$M $に対して、余微分と呼ぶ作用素 \[ \delta \colon \Omega ^p (M) \to \Omega ^{p-1}(M) \] を定義し、これを用いてラプラス作用素 \[ \Delta =\delta d + d\delta \colon \Omega ^p(M) \to \Omega ^p (M)  \] を導入します。これで$0$になる微分形式を調和形式と呼びます。これで少なくとも、Hodgeの定理を述べるのに十分な準備ができることになります。

参考:本間泰史氏の講義ノート http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma2/download/hodge-kougi.pdf

 


 

 スター作用素の構成を手短に復習します。

$M $のRiemann計量と向きにより、体積形式が指定されるので、同型 $\Omega ^n(M) \cong C^\infty (M) $ が決まります(ちなみに、代数幾何では、このような同型を指定することそのものを「向きを指定する」と言うことがあります)。これと積構造 $\Omega ^p(M) \times \Omega ^{n-p}(M)\to \Omega ^n(M)$ により同型 \[
\Omega ^p (M) \cong Hom _{C^\infty (M)}(\Omega ^{n-p}(M) ,C^\infty (M) )
\] が誘導されます。さらに、Riemann計量によって与えられる同型 $Hom (\Omega ^{n-p}(M),C^\infty )\cong \Omega ^{n-p}(M) $ も考えます。この合成 $\ast \colon \Omega ^p(M) \to \Omega ^{n-p}(M)$ をスター作用素と言うのでした。

これを$p-1$に対しても考えて、外微分 $d\colon \Omega ^{n-p}\to \Omega ^{n-p+1}$ で二つの図式を繋ぎます:\[
\begin{array}{ccccc}
\Omega ^p(M) &\overset{\text{向き}}{\cong }& Hom (\Omega ^{n-p}(M),C^\infty (M) ) & \overset{\text{計量}}{\cong }& \Omega ^{n-p}(M) \\
 && && \downarrow d \\
 \Omega ^{p-1}(M)&\overset{\text{向き}}{\cong } & Hom (\Omega ^{n-p+1},C^\infty (M) ) &\overset{\text{計量}}{\cong }& \Omega ^{n-p+1}(M) 
\end{array}.
\] この図式を追って得られる合成写像の $(-1)^{p}$ 倍 $\delta \colon \Omega ^p (M) \to \Omega ^{p-1}(M) $ を余微分と呼んでいるようです。符号 $(-1)^{p}$ は、次の公式 \[
d ( \alpha \ \Lambda\ \ast \beta ) = d\alpha\ \Lambda\ \ast \beta - \alpha\ \Lambda\ \ast (\delta \beta )
\quad\text{for }\alpha \in \Omega ^{p-1}(M),\ \beta \in \Omega ^p (M)
\] が成り立つように付けてあります。左辺の $d$ が $\alpha $ を跨ぐ時に符号 $(-1)^{p-1}$ が現れるので、なんとなくそれっぽく感じるのではないでしょうか。まあ、符号のconventionは多くの場合、伝統なので、従うほかはありません。

公式の両辺は$n$次形式なので、両辺を$M $上で積分できます。閉形式を積分しても値は $0$ なので(Stokesの定理)、\[
0=(\int _M d\alpha\ \Lambda\ \ast \beta ) - (\int _M \alpha\ \Lambda\ \ast (\delta \beta ) )
\] となります。これは $\Omega ^p(M) $ 上に次のように定めた対称正定値内積 \[ 
(\alpha ,\beta ) \mapsto \langle \alpha ,\beta \rangle := \int _M \alpha \ \Lambda\ \ast\beta 
\] に関して、$d$ と $\delta $ が互いに随伴であることを意味しています。(随伴の定義は、関係式 $\langle d\alpha ,\beta \rangle =\langle \alpha ,\delta \beta \rangle $ が成り立つことです。)

 

スター作用素を使って式ひとつでバシッと書くと、\[
\delta := -(-1)^{n(p+1)} \ast \circ d \circ \ast \quad \colon \quad \Omega ^{p}(M) \to \Omega ^{p-1}(M) .
\] となります。現れた符号は、上の図式では $\Omega ^{p-1}(M)$ を主人公にして同型 $\Omega ^{p-1}(M) \xrightarrow{\cong } Hom (\Omega ^{n-p+1}(M) )$ を用いていますが、スター作用素を用いた記述では、なりゆき上 $\Omega ^{n-p+1}(M) $ が主人公になっており、前回さいごに示した補題により、符号 $(-1)^{(p-1)(n-p+1)}$ が導入されるからです。 

符号が一致するのか一目ではわからないかもしれませんが、差 $1+n(p+1)-(p-1)(n-p+1)$ をゆっくり計算すると $2n-p^2+2p$ となり、偶奇が $p$ と一致する数になります。

 

 

 

さて、ラプラス作用素 $\Delta $ を、式 \[ \Delta := \delta d + d \delta \colon \Omega ^p(M) \to \Omega ^p(M) \] によって定義します。本シリーズの目標は次の定理です(ということにします)。 

定理 (Riemann多様体に対するHodgeの定理). $M $をコンパクトな向き付きRiemann多様体とする。各次数$p$に対し、\[
H^p:= \ker (\Delta ) \subset \Omega ^p(M)
\] と定める。このとき包含により次の写像が誘導され、しかも同型である: \[
H^p \xrightarrow{\cong} H^p_{dR} (M) .
\]

 

この記事は次の主張を示して一旦おしまいにします。この主張により、調和形式がすべて閉形式であることがわかります。したがってHodgeの定理の中の写像 $H^p \to H^p_{dR}(M)$ がwell-definedです。

命題. 微分形式 $\alpha $ に対して、条件 $\Delta \alpha =0$ と、条件 $d\alpha =0$ かつ $\delta \alpha =0 $ は同値である。

 証明. Implication 「$\Rightarrow $」が非自明です。$\alpha \in \Omega ^p(M)$ 任意にとり、 $\Delta \alpha =0 $ つまり $\delta d \alpha + d\delta \alpha =0$ を仮定します。$\Omega ^p(M)$ に入った正定値内積 $(\beta ,\gamma )\mapsto  \langle \beta ,\gamma \rangle := \int _M \beta\ \Lambda\ \ast \gamma  $ を利用しましょう: \[
\langle \Delta \alpha ,\alpha \rangle = 
\langle \delta d \alpha ,\alpha \rangle + \langle d\delta \alpha ,\alpha \rangle
\] $d$ と $\delta $ が、この内積に関して随伴をなしていましたので、\[
= \langle d\alpha ,d\alpha  \rangle + \langle \delta \alpha ,\delta \alpha  \rangle  \ge 0.
\] 最後の正値性は、内積の正値性からです。しかし、値は $0$ であることを知っていましたので、右辺の2項はともに値が $0$ でなければなりません。こうして $d\alpha $ と $\delta \alpha $ がともに $0$ であることが言えました。◼️

 

こんなところで正値性を使うのはちょっと面白いですね。単なる線形代数だけからは言えそうにないキツい条件を導く道具として、正値性は代表的なものであるわけですが、この証明はその使い方の典型例かもしれません。