体上の 2 次形式篇：Witt の消去定理

定理　2 次形式 \(q,q_1,q_2\) に関して、\( q\oplus q_1\cong q\oplus q_2\) ならば \( q_1\cong q_2 .\)

初めに与えられている \( \phi \colon q\oplus q_1\cong q\oplus q_2 \) は部分空間 \(q\) や \(q_i\) を保っているとも何とも仮定していないのに、結論部分では \( q_1\) と \(q_2\) の同型が得られているというわけなので、これは立派な定理です。

　(ほかの文脈では、このような「cancellation problem」には反例がある場合があります。可換環上の加群の場合の例を、この記事の末尾で紹介します。)

　消去定理を証明するには、\(q\) が 1 次元の形式 \( \langle a \rangle \) の場合を扱えば十分です。じっさい、対角化定理により、一般の \(q\) は \( \langle a_1,\dots ,a_n \rangle = \langle a_1\rangle \oplus \dots \oplus \langle a_n\rangle \) の形に同型です。これを「ひとつずつ」消去していけば、一般の場合の消去定理が従います。

　a=0 の場合の方が比較的簡単です。 一般に、対称双線型形式つきベクトル空間 \( (V,B) \) で、「すべてのベクトルに直交するベクトル」の空間 \( \mathrm{rad}V:=V^\perp =\{ u\in V\mid \forall v\in V\quad B(u, v)=0 \} \) を \( (V,B) \) の根基 (radical) と呼びます。

　これは intrinsic な対象なので、双線型形式つきベクトル空間ふたつが互いに同型ならば、radical どうしも同型です。

　根基 \( \mathrm{rad}V \) の定義の仕方から、商空間 \( V/\mathrm{rad}V \) には双線型形式が自然に誘導されます：\[\begin{array}{ccc} V\times V &\xrightarrow{\quad B} & \\ \downarrow &&\searrow \quad \\ (V/\mathrm{rad}V)\times (V/\mathrm{rad}V) &\xrightarrow[\exists B]{} & F \end{array}\] いま、\( q\cong \langle 0 \rangle \) のとき、\( q\oplus q_1 \) の根基から非零ベクトル \( u_1\) を任意にとると、2 次形式つき空間の同型 \[ (q\oplus q _1) / Fu _1 \xleftarrow[ ]{\cong } q _1 \] が確認できます。

　与えられた同型 φ を通じて、\( u_2:= \phi (u_1) \in q\oplus q_2 \) をとると、同じ理由で同型 \[ (q\oplus q_2)/Fu_2 \xleftarrow[ ]{\cong } q_2 \] があります。いまのふたつの式の左辺どうしは同型 φ で結ばれているので、右辺どうしも同型とわかります。

　\( \langle 0 \rangle \) に関する消去定理が成り立つことがわかったので、今後必要なときは、\( q_1 \) と \( q_2 \) から \( \langle 0 \rangle \) を予め相殺して、両方とも非退化な空間と仮定しても構いません。

　\( a\neq 0\) の場合は鏡映を用いた驚くべき証明を行います。

　\( (V,B) \) の「長さ 0」でないベクトル \( v\in V \) が与えられたとき、\( v\) に直交する空間 \( (Fv)^\perp \) は \( V\) の中で余次元 1 で、\( Fv+(Fv)^\perp =V \) です。 \( v\) に関する鏡映作用素 \[ τ_v\colon V\to V \] を、\( (Fv)^\perp \) 上では恒等作用素で、\( v\) は -1 倍するようなものとして定義します。これは双線型形式と整合する写像：\( B(τ_v(u_1),τ_v(u_2))=B(u_1,u_2)\) です。

　さて今、空間 \( V:=\langle a\rangle \oplus q_1 \) には先頭の直和因子に対応するベクトル \( v_1 \) があり、もとの空間 \( q_1 \) はその直交補空間 \( (Fv_1)^\perp \) として復元できます。\( \langle a\rangle \oplus q_2 \) にも同様のベクトル \( v_2\) があります。与えられた同型 \( \phi \colon V=\langle a\rangle \oplus q_1 \cong \langle a\rangle \oplus q_2 \) を通じて、 \( v_2\) を \( V\) の中で考えます。同型は直和成分を含むとはぜんぜん仮定していないメチャクチャかもしれないものなので、\( v_1\) と \( v_2\) は通常は一致しません。しかし次の主張が示せます：

補題　対称双線型形式つき空間 \( (V,B) \) の二つの元 \( v_1,v_2\) が 0 とは異なる同じ「長さ」 \(\ell \) を持つとき、適当なベクトル \( u\) に関する鏡映 \( τ_u\colon V\to V \) をとると \( v_1\) は \( v_2\) に写る。

明らかに、\( u:= v_1 -v_2\) と置けば良さそうです。ただし、\( v_1 -v_2\) の「長さ」が非零であることが必要です。

 ここで恒等式 (「ピタゴラスの定理」) \[\begin{array}{ccl}
B(v_1 -v_2,v_1 -v_2)+ B(v_1+v_2,v_1+v_2)&=& 2B(v_1,v_1)+2B(v_2,v_2) \\ &=&4\ell \neq 0
\end{array}\] により、左辺のふたつの数が両方とも 0 であることはありえません。ゆえに、\( v_1-v_2 \) の「長さ」がたまたま 0 である場合は、\( -v_2\) を新しい \( v_2\) と思うことによって、補題が成り立ちます。これで補題よりも少しだけ弱いが、消去定理を示すには十分である主張が示せました。◼️

補題の主張はじっさいには必ずしも正しくないです。「鏡映の有限個の合成」とすれば正しいです。少なくとも、(V,B) が非退化のときは、-1 倍写像が有限回の鏡映で表せるからです。

系　(V,B) が非退化のとき、直交群 O(V,B) の任意の元は、有限個の鏡映の合成として表せる。

環上の加群の場合に消去定理がなりたたない例

以下の例はトポロジーに由来します。球面 \( S^2\subset \mathbf{R}^3 \) を考えます。\(R\) を、\( S^2\) 上の \(C^\infty \) 級関数全体のなす環とします：\[ R:=C^\infty (S^2). \] 接ベクトル場のなす \( R \)-加群 \( T(S^2) \) を考えます。\(S^2\) に接しているベクトルを \( \mathbf{R}^3 \) の中のベクトルだと思うことで、自明ベクトル束への単射 \[  T(S^2)\hookrightarrow T(\mathbf{R}^3)_{|S^2}\Bigl( \cong R^{\oplus 3}\Bigr) \] があります。

　一方、球面に直交するベクトルからなる、「法ベクトル場のなす加群」 \( N\subset T(\mathbf{R}^3)_{|S^2} \) も考えます。\( S^2\) の各点で、「球の外側を向いた単位ベクトル」を考えると、これが \(N\) の大域基底になっているので、\( N\) は \( R\)-加群として階数 1 の自由加群です。

　\( S^2 \) の各点 \( x\) で、「\( S^2 \) に接するベクトル」と「\( S^2\) に直交するベクトル」によって \( T_x\mathbf{R}^3\) を生成できるので、\( C^\infty (S^2) \)-加群の同型 \[ T(S^2)\oplus N \xrightarrow{\cong} T(\mathbf{R}^3)_{|S^2} \Bigl( =R^{\oplus 3}\Bigr) \] を得ます。

　さて、\( N\cong R\) なので、もしも \( R \)-加群の世界で、「消去定理」が成り立っていたら、同型 \[ T(S^2)\cong C^\infty (S^2)^{\oplus 2} \quad (?) \] が成り立つことになる筈です。つまり、\( T(S^2)\) はベクトル束として自明ということです。しかし、\( T(S^2) \) は自明ベクトル束ではないことが知られている (cf. hairy ball theorem) ので、これは正しくありません。

体上有限型な環での例へ

以上の \( T(S^2),N \) や直和分解のデータは、\( C^{\infty }(S^2) \) の部分環である \[ R_0:=\mathbf{R}[x_0,x_1,x_2]/(x_0^2+x_1^2+x_2^2 -1) \] のレベルで定義できてしまうものです。すなわち、\[\begin{array}{ccl} T_0 &:= &\bigl\{ (s_0,s_1,s_2)\in R_0^3 \bigm\vert s_0x_0+s_1x_1+s_2x_2=0 \bigr\} \\ N_0&:= &R_0\cdot (x_0,x_1,x_2)\subset R_0^3 \end{array}\] と定義すると、\[
T_0\oplus N_0\cong R_0^3
\] です。かつ、明白な包含写像 \( R_0\hookrightarrow R=C^\infty (S^2) \) によってこの同型を係数拡大したものは、上記の \(S^2\) の場合を復元します。とくに、\(T_0\) は自由加群ではありません。こうして、体上有限型な環における例も得られました。