Steenrod 篇：§7. 対称性定理
この節は対称性定理：
「合成
\[ \begin{array}{rl} H^{2i,i}(X,\mathbf{Z}/l)&\xrightarrow{P_l}\phantom{l^2} H^{2il,il}(X\times BS_l ,\mathbf{Z}/l) \\ &\xrightarrow{P_l} H^{2il^2,il^2}(X\times BS_l\times BS_l,\mathbf{Z}/l) \end{array} \] はふたつの \( BS_l \) の入替えに関する不変部分の中へ写る」を証明するための小節です。
（写像 \( P_l \) については、§5の記事を参照。）
A direct comparison 関係式を解釈する \( BS_l \) の場合
A direct comparison
一般に \( G_1,G_2 \) を有限群とし、スキーム \( U_1,U_2 \) に自由に作用しているとします。群準同型 \( r_i\colon G_i\to S_{n_i} \) をとり（ \( i=1,2 \) ）、 \( \xi _i \) を \( U_i/G_i \) 上に誘導される \( n_i \) 次元ベクトル束とします。
\[ \begin{array}{rc} \xi _i=& (\mathbf{A}^{n_i}\times U_i )/G_i \\ &\downarrow \\ & U_i/G_i \end{array} \] \( \xi _i \) の「逆元」であるベクトル束 \( L_i \) と同型 \( L_i\oplus \xi _i \cong \mathscr{O}^{N_i} \) をとります。
積作用 \( G_1\times G_2\curvearrowright U_1\times U_2 \) を考え、
\[ (U_1\times U_2) / (G_1\times G_2) = (U_1/G_1)\times (U_2/G_2) \] 上のベクトル積である外部テンソル積 \( \xi _1\otimes \xi _2 \) をとります。これは群準同型 \( r_1\times r_2\colon G_1\times G_2\to S_{n_1}\times S_{n_2}\to S_{n_1n_2} \) を通じて、\( BS_{n_1n_2}\) 上の正則表現 \( \xi \) から誘導されるベクトル束と同型です（二つめの群準同型は辞書式順序によるもの）。\( \xi _1\otimes \xi _2 \) の「逆元」としてたとえば
\[ L_{12}:= (L_1\otimes \xi _2 )\oplus L_2^{N_1} \] がとれます。\( L_{12}\oplus (\xi _1\otimes \xi _2)\cong \mathscr{O}^{N_1N_2} \) . 対角埋め込み \( \mathscr{O}\hookrightarrow \xi _2 \) から誘導される写像を \( j \) と名付けます：
\[ j\colon \quad L_1\otimes L_2^{N_1} = (L_1\otimes \mathscr{O})\oplus L_2^{N_1}\to L_{12} . \]
[Reduced power, Lem.7.1]: 次の図式は可換である。
\[ \begin{array}{rcl} & H^{2iN_1,iN_1}(X{}_\Lambda Th(L_1^{i}),R) & \\
{}^{\tilde{P}_1} \nearrow &&\searrow ^{\tilde{P}_2} \\
H^{2i,i}(X,R) &&H^{2iN_{1}N_{2},iN_{1}N_{2}}(X{}_{\Lambda} Th(L_{1}^i){}_\Lambda Th(L_2^{iN_1 }) , R) \\
{}_{\tilde{P}_{12}}\searrow &&\nearrow_{Th(j^{\oplus i })^*} \\
&H^{2iN_{1}N_{2},iN_{1}N_{2}}(X{}_\Lambda Th(L_{12}^i) , R) &
. \end{array} \] （mathjax の都合で、\( \wedge \) が使えず \( \Lambda \) で代用している。）
これは論文には direct comparison と書いてあります。実際そうなのですが、この記事ではこの主張だけ丁寧に確認してみます。
証明. \( Z\subset X\times \mathbf{A}^i \) で X 上有限全射であるサイクルが与えられたとします。上の合成を計算すると次のようになります。Z の X 上の \( n_1 \) 重積をとって、\( U_1\) との積をとり、 \( r_1\colon G_1\to S_{n_1}\) からくる作用で割ります：
\[ \begin{array}{ccc} Z^{\times _X n_1}\times U_1 &\subset &X\times \mathbf{A}^{in_1} \times U_1\\ G_1 \downarrow &\square & \downarrow G_1 \\ Z' &\subset & X\times \xi _1^{i} \end{array} \]
Z' は \( X\times (U_1/G_1)\) 上有限全射です。つぎに \( Z'\times _{U_1/G_1}\mathrm{diag}(L_1^{\oplus i})\) を考えます：
\[ \begin{array}{rc} Z'\times \mathrm{diag} \subset & X\times (L_1^i\oplus \xi _1^i\oplus L_1^i)\cong X\times L_1^i\times \mathbf{A}^{iN_1}\\ & \downarrow \\ & X\times L_1^i \end{array} \] \( L_1^i\) への射影はここでは左側の \( L_1^i \) を用います。右側の直和 \( \xi _1^i\oplus L_1^i \) を \( \mathbf{A}^{iN_1}_{U_1/G_1}\) と同一視しました。これが \( \tilde{P}_1\) の計算です。
\( \tilde{P}_2\) についても同様の計算を繰り返すことになるので、結果は
\[ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{ \left\{ \frac{Z^{\underset{X}{\otimes} n_1}\times U_1}{G_1}\times _{U_1/G_1} \mathrm{diag}(L_1^i) \right\} ^{\underset{X\times L_1^i}{\otimes} n_2}\times U_2 }{G_2} \times _{U_2/G_2} \mathrm{diag}(L_2^{iN_1}) \\
\cap \phantom{X\times L_1^i\times L_2^{iN_1}\times \mathbf{A}^{iN_1N_2}} \\
X\times L_1^i\times (L_2^{iN_1}\oplus \xi _2^{iN_1}\oplus L_2^{iN_1} )\cong X\times L_1^i\times L_2^{iN_1}\times \mathbf{A}^{iN_1N_2} \\
\phantom{\subset X\times L_1^i\times (L_2^{iN_1}\oplus \xi _2^{iN_1}\oplus L_2^{iN_1} )\cong X\times}
\downarrow \\
\phantom{\subset X\times L_1^i\times (L_2^{iN_1}\oplus \xi _2^{iN_1}\oplus L_2^{iN_1} )\cong }
X\times L_1^i\times L_2^{iN_1} \end{array} \] とでも書かれるものになります。これはスキームとしては単純に「約分」を繰り返して
\[ Z^{\underset{X}{\otimes} n_1n_2}\times L_1^i\times L_2^{iN_1} \tag{Z} \] に同型であり、埋込み射の一部である \( \mathbf{A}^{iN_1N_2} \) への写像は、自明化のデータからベクトル束の自然に誘導される写像
\[ L_1^i\oplus L_2^{iN_1} \hookrightarrow \mathbf{A}^{iN_1N_2}_{U_1\times U_2/G_1\times G_2} \] によるものであることがわかります。
一方、\( \tilde{P}_{12}(Z)\) は代数的サイクル
\[ \frac{ Z^{\underset{X}{\otimes} {n_1n_2}}\times (U_1\times U_2)}{G_1\times G_2} \underset{U_1\times U_2/G_1\times G_2}{\times } \mathrm{diag}((L_1\otimes \xi _2)^i\oplus L_2^{iN_1}) \] \( \subset X\times (L_1\otimes \xi _2)^i \times L_2^{iN_1}\times \mathbf{A}^{iN_1N_2}\) で代表されます。埋込み射の一部である \( \mathbf{A}^{iN_1N_2} \) への写像は、直和分解のデータから定まる
\[ (L_1\otimes \xi _2 )^i\oplus L_2^{iN_1}\hookrightarrow \mathbf{A}^{iN_1N_2}_{U_1\times U_2/G_1\times G_2} \] です。
このサイクルを \( Th(j^{\oplus i}) \) で引き戻すのは、後ろの成分を \( \mathrm{diag}(L_1^i\oplus L_2^{iN_1})\) で置き換えることに対応することが落ち着いて考えるとわかります。すると、置き換えたものはスキームとして式 (Z) のものと一致します。\( \mathbf{A}^{iN_1N_2} \) への写像も同じものであることが確認できます。
こうして二つの代数的サイクルが一致することが分かりました。\( \blacksquare \)
関係式を解釈する
補題で得られた可換図式をThom同型で書き直すと
\[ \begin{array}{rcl} &H^{2in_1,in_1}(X\times U_1/G_1,R)\cong ^{t_{L_1^i}}& \\
& H^{2iN_1,iN_1}(X{}_\Lambda Th(L_1^{i}),R) & \\
{}^{\tilde{P}_1} \nearrow &&\searrow ^{{P}_2} \\
H^{2i,i}(X,R) &&H^{2iN_{1}n_{2},iN_{1}n_{2}}(X{}_{\Lambda} Th(L_{1}^i){}_\Lambda (U_2/G_2)_+ , R)\cong ^{t_{L_1^i} } \\
{}_{{P}_{12}}\searrow && H^{2i(N_1n_2-N_1+n_1),i(N_1n_2-N_1+n_1)}(X\times \frac{U_1\times U_2}{G_1\times G_2},R)\\
&H^{2in_{1}n_{2},in_{1}n_{2}}(X\times \frac{U_1\times U_2}{G_1\times G_2} , R) & \nearrow_{(-)\cdot e(L_1\otimes (\xi _2/\mathscr{O})^i)}
\end{array} \] というビミョーな図式となります。形を整えるために \( e(\xi _1\otimes (\xi _2/\mathscr{O})^i) \) を掛けたうえで少々計算すると、コホモロジー類 \( u\in H^{2i,i}(X,R) \) に対して
\[ P_2(P_1(u ) )\cdot e(\xi _2/\mathscr{O})^{iN_1}=P_{12}(u)\cdot e(\xi _2/\mathscr{O})^{iN_1} \quad\text{ in }H^{2i(n_1n_2+N_1n_2-N_1),i(n_1n_2+N_1n_2-N_1)} \] となります。コホモロジー群は \(X\times \frac{U_1\times U_2}{G_1\times G_2} \) のものです。\( U_1,U_2 \) を動かして極限をとると \( X\times BG_1\times BG_2 \) のコホモロジー群ということになります。
\( BS_l \) の場合
ここで、\( \mathbf{Z}/l \) 係数かつ \[ G_1=G_2=S_l , \] \[ r_1=r_2=\mathrm{id}\] の場合を考えることにします。
この場合、\( e(\xi _2/\mathscr{O})\) という元は \( BS_l \) の基底の一部になっていて、コホモロジー上で非零因子であることがわかります。
このブログ (§6) では \( l=2 \) の場合のみ紹介しましたが、このときは \( \xi _2/\mathscr{O}\) というベクトル束は \( B\mu _2 \) 上の直線束です。\( S_2=\mu _2 \) の 1 次元ベクトル空間 \( k\) へのスカラー作用により定まっています。したがって \[ e(\xi _2/\mathscr{O}) = v\] です。が、\( B\mu _2 \) のコホモロジーは冪級数として \( v^i \) の冪と、もう一つの元 \( u\) との積 \( uv^i \) で自由生成されるのでした。
こうして写像 \( H^{2i,i}(X,\mathbf{Z}/l)\rightrightarrows H^{2il^2,il^2} (X\times BS_l\times BS_l,\mathbf{Z}/l) \) の等式
\[ P_2\circ P_1 = P_{12} \] を得ました。写像 \( P_{12} \) はいかにも二つの \( BS_l \) の入替えに関して対称に見えます。実際にそうなら冒頭の対称性定理が示されることになります。
\( P_{12} \) の定義を思い出すと、群準同型 \( S_l\times S_l \to S_{l^2} \) で集合 \( \{ 1,\dots ,l \} ^2\) を \( \{ 1,\dots ,l^2 \} \) と辞書式順序で同一視する作業があり、ここで完全な対称にはなっていないことに気づきます。 しかし両者の差はもちろん \( S_{l^2}\) の内部自己同型ぶんしかありません。群の内部自己同型はコホモロジーに影響を与えない（motivic でもそうだと思う・・・ここではコホモロジーの基底が明示的に計算できているので、直接たしかめてもよい。具体的には、ベクトル束 \( \xi \) が内部自己同型で変換しても同型類が変わらない）ので、ここでの \( P_{12}\) は \( S_l \) の入替えに関して対称であることが分かりました。
論文では少しちがう説明の仕方をしています。
