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Milnor 予想篇:§4 ノルム多様体とそのモチーフ

体 \( k\) の有限個の可逆元 \( a_1,\dots ,a_n\in k^* \) に対して、Pfister form を次のテンソル積で定義します。 \[
\langle\langle a_1,\dots ,a_n\rangle\rangle := \langle 1,-a_1 \rangle \otimes \dots \otimes \langle 1,-a_n \rangle .
\] これは \( 2^n \) 次元のベクトル空間 \( F^{2^n}\) に、次の 2 次形式が具わったものです。

\( F^{2^n}\) の基底を、集合 \( \{ 1,\dots ,n \} \) の部分集合 \( E \) どもでラベルづけることにして、座標を変数の族 \( \{ x_E \} _E \) でとる。 \( E\subset \{ 1,\dots ,n \}  \) に対して記号 \[
(-a)^E := \prod _{i\in E} (-a_i )
\] を準備する。\( F^{2^n}\) にはつぎの対角的な 2 次形式を与えている。\[
\sum _{E\subset \{ 1,\dots ,n\} } (-a )^E x_E^2.
\]

まあ、だからといって何かが分かった気もしないと思います。とりあえず先に進みましょう。

 

\( k^*\) の元の族 \( \underline{a}:=( a_1,\dots ,a_n) \) に対して、次のふたつの射影空間の中の超局面 \( Q_{\underline{a}}, P_{\underline{a}} \) を考えます。\[ \begin{array}{rll}
Q_{\underline{a}}:= & \Bigl\{\langle\langle a_1,\dots ,a_{n-1}\rangle\rangle = a_nt^2 \Bigr\} & \subset \mathbf{P}^{2^{n -1}}  \\
P_{\underline{a}}:= & \Bigl\{\langle\langle a_1,\dots ,a_{n}\rangle\rangle = 0 \Bigr\} & \subset \mathbf{P}^{2^{n}-1}
\end{array}\] 次元でいうと、\( P_{\underline{a}} \) のほうがずっと大きいです (\( 2^{n-1} -1 \) 次元と、\( 2^n -2\) 次元)。また、\( x_{\{ n\} } :=t \) とし、それ以外の、n を含む E に対して \( x_E:=0 \) とすることで定まる埋め込み \( \mathbf{P}^{2^{n -1}}\subset \mathbf{P}^{2^n -1} \) がありますが、これによって \( Q_{\underline{a}} \) は \( P_{\underline{a}}\) の部分スキームになっています。

 \( Q_{\underline{a}}\) にはノルム多様体という通り名がついています。その関数体を、\( k(Q_a)\) と書くことにします。\( Q_{\underline{a} }\) が既約でない場合は、各既約成分の関数体の積を指すことにします。

 

ちなみに、Pfister 業界では、\( P_{\underline{a} } \) は Pfister 2 次超曲面 (quadric)、\( Q_{\underline{a } } \) は Pfister 近傍 (neighborhood) と呼ばれているようです。近傍というのは、定義方程式が似ているからですかね。

 

補題

各 \( \underline{a}\) に対して、\( Q_{\underline{a} } \) が \(k\)-有理点を含むことと、\( P_{\underline{a} } \) が \(k\)-有理点を含むことは同値である。

 さきほどの包含 \( Q_{\underline{a}}\subset P_{\underline{a}} \) から、第 1 の条件が第 2 の条件を導くことは自明です。逆は、Pfister form に関する、わりと初等的な事実から従います。が、それなりに紙幅が必要です。Pfister form に関する記事を参照。

 

この記事は、次の命題の証明までにしたいと思います。この命題は、「\( Q_{\underline{a} }\) は、\( \{ a_1,\dots ,a_n\} \in K_n^M(k)/2 \) を消すような拡大体をパラメタづけたものである」という感じの主張です。

命題 [Z/2-coefficients, Prop.4.1]

任意の \( q\in Q_{\underline{a} } \) に対して、\( \{ a_1,\dots ,a_n \} \) の \( K_n^M(k(q ) )/2 \) への像は、0 である。

「\(Q_{\underline{a} }\) が \( k\)-有理点を持てば、\( \{ a_1,\dots ,a_n\}  \) は \( K_n^M(k)/2 \) で 0 である」を示せば十分です。

 n=1 の場合を見ましょう。このとき主張は、\( a_1\in k^* \) の平方根が同じ体の中に見つかる、というものになります。一方、\( Q_{\underline{a}} \) の \( \mathbf{P}^1\) 内での定義方程式が \[
x ^2 = a_1 t^2 \quad i.e. \quad (x/t)^2=a_1
\] となっているので、これは大丈夫です。

 n=2 以降は帰納法となります。存在すると仮定している有理点 \( q\in Q_{\underline{a} } (k) \) の座標 \( \{q_E\} _{E\subset \{ 1,\dots ,n -1 \} } , t \) は方程式 \[
\sum _{E\subset \{ 1,\dots ,n -1\} } (-a)^E q_E^2 = a_n t^2
\] を満たします。ここで、\( t\neq 0\) としてよいです。もしも t=0 の範囲で解があるなら、q は \( P_{(a_1,\dots ,a_{n-1})}\) の k-有理点も定めていることになるので、補題により \( Q_{(a_1,\dots ,a_{n-1} ) } \) にも k-有理点があることになります。すると帰納法により \( \{ a_1,\dots ,a_{n-1} \} \in K_{n-1}^M(k) \) が或る元の 2 倍となるので、\( \{ a_1,\dots ,a_n \} \) についても同じことが言えます。

 そこで、q の座標で \( t\neq 0\) が成り立つと仮定してよいので、q は \( Q_{\underline{a} }\) のアフィン部分 \[
\Bigl\{  (x_E)_{E\subset \{ 1,\dots ,n -1\} } \Bigm\vert \sum _{E } ( -a)^E x_E^2 = a_n \Bigr\} \subset \mathbf{A}^{2^{n-1}} 
\] の点となります。\( \mathbf{A}^{2^{n -1}}\) の点 \( \mathbf{1}:=(1,0,\dots ,0) \) を考えます ( \( E=\emptyset \) の成分のみが 1 となる点です)。この点は 2 次形式 \( \langle\langle a_1,\dots ,a_{n-1}\rangle\rangle \) で値 1 を持ちます。

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 \( \mathbf{A}^{2^{n -1}} \) の中で、\( \mathbf{1}\) と \( q\) で張られる 2 次元アフィン空間 \( L:=k\cdot \mathbf{1}+k\cdot q \) を考えます。2 次形式の L への制限は次の形をしています: \[
y_1 \cdot\mathbf{1}+y_2\cdot q \quad\mapsto\quad  y_1^2+c y_1y_2 + a_n y_2^2 \quad (\exists c\in k)
\] 平方完成を行うと、これは \( (y_1+\frac c 2 y_2)^2-b y_2^2  \) (\(b\in k \) ) の形になるので、座標変換により \( L\cong \langle\langle b \rangle\rangle  \) (つまり \( y_1^2-by_2^2\) の形) です。

 この b を用いて、拡大体 \( k(\sqrt{b})/k \) を考えます。真の拡大となっていないかもしれませんが、構いません。\( k(\sqrt{b}) \) 上では、\( \langle\langle b\rangle\rangle \) は値 0 をとれるので、それを部分空間として含む \( \langle\langle a_1,\dots ,a_{n -1} \rangle\rangle  \) も値 0 をとれます。つまり、\( P_{(a_1,\dots ,a_{ n -1 } ) }  \) は \( k(\sqrt{b})\)-有理点を持ちます。補題によって、\( Q_{(a_1,\dots ,a_{ n -1 } ) } \) も \( k(\sqrt{b})\)-有理点を持つことになるので、帰納法により、

 (★) 元 \( \{ a_1,\dots ,a_{ n - 1} \}\in K_{n -1 }^M(k(\sqrt{b} ) )  \) は或る元の 2 倍

です。(このへんが、この証明の巧みなところだと思います。)

 一方、点 q で \( \langle\langle b \rangle\rangle \) は値 \( a_n\) をとるのでしたから、\( a_n \) は \( k(\sqrt{b}) \) の或る元のノルムです:\( a_n=y_1^2-by_2^2=(y_1+y_2\sqrt{b})(y_1-y_2\sqrt{b})=\mathrm{Nm} _{k(\sqrt{b} )/k } (\alpha )\), ここで \( \alpha =y_1+y_2\sqrt{b}\) と置きました。

 さて、われわれの元は \[\begin{array}{rcl}
\{ a_1,\dots ,a_n \} &=& \{ a_1,\dots ,a_{ n - 1}  \} \cdot\mathrm{Nm}_{k(\sqrt{b} )/k } (\alpha ) \\
&\underset{射影公式}{=}&\mathrm{Nm}_{k(\sqrt{b} )/k } \{ a_1,\dots ,a_{n-1},\alpha  \} 
\end{array}\] と書けますが、右辺のノルムの中身は、(★) の事実により、\( K_n^M(k(\sqrt{b} ) ) \) の中で他の元の 2 倍になっています。Nm は加法的写像なので、これで証明ができました。◾️