Milnor 予想篇：§4 おわり - A1 ホモトピーと Milnor 予想を勉強しているブログ

設定を思い出しましょう。\( k\) を標数 \(\neq 2\) の体とし、\(k^*\) の元の列 \( \underline{a}=(a_1,\dots ,a_n)\) を任意に取ります。

2次超曲面 \( Q_{\underline{a}} \subset \mathbf{P}^{2^{n-1}}\) を方程式 \[
\langle\langle a_1,\dots ,a_{n-1}\rangle\rangle = a_{n}t^2
\] で定義します。\( d=\dim (Q_{\underline{a} } ) = 2^{n-1}-1 \) とおきましょう。(これの関数体に係数拡大すると、\( \{ a_1,\dots ,a_n\} \in K_n^M/2 \) は 0 になるのでした。とくに、この種の体拡大を超限回くりかえすと、\( K_n^M \) が 2-可除である拡大体を見つけることができます。)

また、以前の記事で、モチーフの圏 \(DM(k) \) における \( Q_{\underline{a}}\) の直和因子 \( M_{\underline{a}} \overset{\oplus }{\hookrightarrow }Q_{\underline{a} } \) と、射 \[
\mathbf{Z}(d)[2d] \to M_{\underline{a} }
\] が得られていました。(「基本類」\( \in CH ^0(Q_{\underline{a} })=\mathbf{Z} \) にあたる。) \( Q_{\underline{a}}\) が \(k\)-有理点を持つところまで係数拡大すれば、 \( M_{\underline{a} }\) は \( \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}(d)[2d] \) に標準的に同型で、単に \( CH_0 \) と \( CH^0 \) に当たる部分を取り出しただけということになります。下に紹介するものは、この同型を、\( Q_{\underline{a}}\) が必ずしも有理点を持たない場合にも成り立つ形でのべたものです。

完全三角形

いま、simplicial scheme \( \check{C}(Q_{\underline{a} } ) \) を、構造射 \( Q_{\underline{a}} \to Spec(k) \) の Cech 構成とします。すなわち、第 \( n\) 項は直積 \[
Q_{\underline{a}}^{n+1}=Q_{\underline{a}}\times \dots \times Q_{\underline{a}}
\] で、face maps はこの中から選んだ \( n\) 個の成分への射影、degeneracy maps はいずれかの成分をダブらせる写像です。\( Q_{\underline{a}}\) が \(k\)-有理点 \(q\) を持つときには、左端に (右端でもよいが) \(q\) を入れ込むという写像 \( Q_{\underline{a}}^n\to Q_{\underline{a}}^{n+1}\) が所謂 an extra degeneracy となって \( \check{C}(Q_{\underline{a}}) \simeq Spec (k) \) が従います。一般には射 \(\check{C}(Q_{\underline{a}}) \to Spec (k)\) があるだけです。

定理 [\( \mathbf{Z}/2\)-coefficients, Theorem 4.4]　\(k\) が完全体であると仮定する。\( d=\dim (Q_{\underline{a}})\) とする。このとき \(DM(k)\) の完全三角形 \[
\check{C}(Q_{\underline{a}}) (d)[2d] \to M_{\underline{a}} \to \check{C}(Q_{\underline{a}}) \to
\] が存在する。(\(Q_{\underline{a}}\) が \(k\)-有理点を持つときには split して、上記の同型 \( M_{\underline{a}}\cong Spec (k)\oplus Spec (k)(d)[2d] \) を復元する。)

証明については、ここではスケッチを与えるにとどめます。まず、図式の右端以外のふたつの射は、下で確認するように、明示的な定義を持ちます。そこで、誘導される射 \( cone \to \check{C}(Q_{\underline{a}}) \) が同型であることを示せばよいです。(あるいは、この射の mapping cone が導来圏で零対象であることを示せばよいです。)

\( Q_{\underline{a}}\) の生成点に底変換すると、\( Q_{\underline{a}}\) は当然有理点を持つことになるので、この場合は (split な) 完全列があることを我々は知っています。

いま、\( k\) が完全体という仮定があります。このとき、Voevodsky の単射性定理が成り立ちます。これは、おおむね、「\( \mathbf{A}^1\)-不変な層が、与えられた多様体の生成点で値 0 を取るならば、多様体全体で値 0 をとる」という定理です。

ぜんぜんちゃんと説明できていませんが、原理としてはこの定理のおかげで、体拡大 \( k\subset k(Q_{\underline{a}})\) する前から、考えている射 \( cone \to \check{C}(Q) \) が同型であったことが従います。詳しくは原典を見てください。

以下では、定理の完全列に現れる中央のふたつの射の定義だけ説明します。

まず、直和因子 \(M_{\underline{a}}\) を構成したときから、ふたつの射 \[
\mathbf{Z}(d)[2d] \to M_{\underline{a}} \to \mathbf{Z}
\] が存在することはいちおう分かっているのでした。これと、いつでもある射 \( \check{C}(Q_{\underline{a}})\to \mathbf{Z} \) を同じ図式に書き込みます：\[ \begin{array}{ccccc}
\check{C}(Q_{\underline{a}})(d)[2d] &&&&\check{C}(Q_{\underline{a}}) \\
\downarrow &&&& \downarrow \\
\mathbf{Z}(d)[2d]&\to &M_{\underline{a}} &\to &\mathbf{Z}
\end{array}\] 左側の合成が、ひとつ目の射 \( \check{C}(Q_{\underline{a}})(d)[2d]\to M_{\underline{a}} \) です。右側に関しては、つぎの補題から欲しい形の射が誘導されます (\(M_{\underline{a}} \) は、\( X:=Q_{\underline{a}} \) の直和因子でしたね。)：

補題　\( X\) をスムーズ射影多様体とし、\( M\in DM(k)\) が \( X\) の生成する localizing subcategory に属するとする ("localizing" = 拡大と直和因子に関して閉じている)。このとき、次のふたつの写像は同型である：\[\begin{array}{rcll}
M\otimes \check{C}(X) &\to& M &\quad \text{ in }DM(k), \\
\mathrm{Hom}(M,\check{C}(X) ) &\to& \mathrm{Hom}(M,\mathbf{Z} ) &\quad \text{ of sets.}
\end{array}\]

「\( M\) が主張をみたす」という条件は、拡大と直和因子をとることに関して安定なので、\( M=X \) の場合に主張を示せば十分です。

ひとつめの射については、既に紹介した事実「\(Q_{\underline{a}}\) が有理点を持つときは、\( \check{C}(Q_{\underline{a}})\xrightarrow{\sim }Spec (k) \) 」と本質的に同じ理由によって成り立ちます (extra degeneracy が作れるから、ということです)。

ふたつめの射については、チルダをつけた \( \tilde{C}(X)\) というものを mapping cone \[
\check{C}(X) \to \mathbf{Z} \to \tilde{C}(X)
\] によって定義するとき、任意の次数 \(n\) について射 \( X\to \tilde{C}(X)[n] \) が 0 しか存在しないことを証明するのと同値です。このような射が与えられたとして、そのグラフ分解 \[ X \xrightarrow{\mathrm{diag} }X\times X \to \tilde{C}(X)[n]\otimes X \to \tilde{C}(X)[n] \] を考えます。が、途中で現れた項 \(\tilde{C}(X)[n]\otimes X\) は補題の前半部分から零対象です。これでふたつめの主張も証明できました。◼️

以上で、定理 4.4 の私からの説明を終えます。

消滅定理

§4 の終着点は、次の消滅定理です。「なぜこの次数で消えることが期待されるのか？どう嬉しいのか？」などと考え始めるとキリがないので、とりあえず呑み込んでください。

定理 [\(\mathbf{Z}/2\)-coeff., Theorem 4.9]　\( H^{2d+1,d+1} (\check{C}(Q_{\underline{a}}) ,\mathbf{Z}_{(2)} )=0\) .

まず、\(k\) は標数 \(\neq 2\) なので、2 と互いに素な次数の拡大で \(k\) の完全閉包がとれます。Transfer argument により、この完全閉包について定理を示せば十分です (このとき係数は \( \mathbf{Z}\) でも証明できます)。

すると、さっきの完全三角形 \( \check{C}(Q_{\underline{a}})(d)[2d]\to M_{\underline{a}} \to \check{C}(Q_{\underline{a}})\to \) によりコホモロジーの長完全列があることに注意します：\[\begin{array}{rccl}
H^{0,1}(\check{C}(Q_{\underline{a}}) ,\mathbf{Z}) &\to H^{2d+1,d+1}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),\mathbf{Z}) &\to H^{2d+1,d+1} (M_{\underline{a}} ,\mathbf{Z}) \to & H^{1,1}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),\mathbf{Z}) \\
||\quad &&\text{incl. }\downarrow \oplus & \quad\downarrow \\
0= H^{-1}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),\mathbf{G}_m )&&H^{2d+1,d+1} (Q_{\underline{a}},\mathbf{Z}) \xrightarrow[\text{Rost} ]{ } &H^{0}(\check{C}(Q_{\underline{a}})\otimes \bar{k},\mathbf{G}_m )=\bar{k}^*.
\end{array}\] ここで、Rost と書かれた写像は Rost のノルム原理の記事で紹介した写像 \[ H^{2d+1,d+1} (Q_{\underline{a}},\mathbf{Z}) \overset{\text{Gersten} }{=} H^{d}(Q_{\underline{a}},\underline{K}^M_{d+1} ) \xrightarrow[\text{closed points} ]{\text{norm on} } k^*\subset \bar k ^* \] で、これが単射というのが Rost の定理 [\(\mathbf{Z}/2\)-coeff., Theorem 4.5] なのでした。

というわけで、中央に残った項 \( H^{2d+1,d+1} (\check{C}(Q_{\underline{a}}) ,\mathbf{Z} ) \) が消滅することがわかりました。

まとめ

結論としては、§4 では Voevodsky の単射性定理と Rost による Pfister form の研究を利用して、コホモロジーの消滅 \[ H^{2d+1,d+1} (\check{C}(Q_{\underline{a}}) ,\mathbf{Z}_{(2)} )=0\] を示しました。図で要約するとこんな感じです：

[\( \mathbf{Z}/2\)-coefficients, §4] \[ \require{AMScd}\begin{CD}
\text{Rost motive } M_{\underline{a}} \overset{\oplus }{\hookrightarrow }Q_{\underline{a}} \\
@V{+ \text{Voevodsky injectivity} }VV\\
\begin{array}{c}\text{Theorem 4.4} \\\bigl( \text{= the exact triangle}\bigr) \end{array}
@>>{+\text{Rost injectivity} }>
\begin{array}{c}\text{Theorem 4.9} \\ \bigl( \text{= the vanishing} \bigr) \end{array}
\end{CD}\]