Milnor 予想篇：§2 次数写像

前回までに、Milnor 予想の証明は次の問題に帰着されていました。

問題　\( a_1,\dots ,a_w \in k^*\) とする。スキーム \( Q_{\underline{a}}\) を、次の方程式で定まるものとする。 \[
Q_{\underline{a}}:=\bigl\{ \langle\langle a_1,\dots ,a_{w-1}\rangle\rangle = a_w t^2 \bigr\}
\subset \mathbf{P}^{2^{w-1} } .
\] Simplicial \( k\)-スキーム \(\check{C}(Q_{\underline{a} } ) \) を, 射 \(Q_{\underline{a}} \to \mathrm{Spec}(k)\) の Cech 構成とする。このとき、つぎの motivic cohomology \[
H^{w+1,w}(\check{C}(Q_{\underline{a}} ),\mathbf{Z}_{(2)} )
\] は自明であることを示せ。

これを示すには、まず、とある \(w\) 個の写像を合成して問題のコホモロジー群から \[ H^{2^w+1,2^{w-1} } (\check{C}(Q_{\underline{a}} ),\mathbf{Z}_{(2)} ) \] への写像を作ります。この \(w\) 個の写像がすべて単射であるということに Steenrod 代数からくる道具を利用し、行き先のコホモロジー群がじつは自明であるということが Rost の norm 原理から従う仕組みになっています。

この記事では、Steenrod 代数を利用して単射性を示す部分を解説します。

次数写像と整合性 

このあたりで、サボっていた基礎理論周辺を少ししっかりやらなければなりません。まずは、\(X\) がスムーズで射影的 (次元を \(d\) とします) なときに考えられる次数写像 \[ \deg \colon 
H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}) = \mathrm{CH}^d(X) \quad\longrightarrow\quad \mathbf{Z}
\] およびその \( \mathbf{Z}/l\) 係数版 \[\deg\colon
H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}/l )=\mathrm{CH}^d(X)/l\quad\longrightarrow\quad
\mathbf{Z}/l
\] を、あるスキーム同士の射による引き戻しと解釈できるという話から。(ここで、\( H^{2d,d}(X,\mathbf{Z})=\mathrm{CH}^d(X)\) を既知とした場合、 \(\mathbf{Z}/l \) 係数の方の同型は \( X\) の Nisnevich コホモロジー次元が \(d\) であることからすぐに出ます。) 

さて、この小節では次の命題を説明したいです。

定理 [$\mathbf{Z}/2$-coeff. Th.2.11]　$X$ を純 $d $ 次元な非特異射影的なスキームとする。このときベクトル束 $V$ (階数を $n$ とする) であって次の 2 条件をみたすものがある：

・$K_0(X)$ において、$V+T_X = \mathcal{O}^{n+d}$;

・非安定 $\mathbf{A}^1$ ホモトピー圏 $H_\bullet $ における射 $f_V\colon T^{n+d}\to Th_X(V)$ があって、これによる引き戻し写像 $$
H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}) = H^{2(n+d),n+d}(Th_X(V) ,\mathbf{Z} ) \to H^{2(n+d),n+d}(T^{n+d},\mathbf{Z} )=\mathbf{Z}
$$ は次数写像に一致する。

2 条件のうち、第 2 のものが主要部分と考えてよいでしょう（もちろん最終的には両方使いますが）。 射 $f_V$ の mapping cone をホモトピー圏の対象として積極的に考察することがけっこう効いてきます。

まず、一般の $X$ に対する主張は射影空間 $\mathbf{P}^m $ の場合の系であることを確認しましょう。\[
i\colon X \hookrightarrow \mathbf{P}^m
\] を任意の閉埋め込みとし、法束を $N\to X$ とします。$\mathbf{P}^m $ に対して定理を仮定し、該当するベクトル束を $V_m\to \mathbf{P}^m $ とします（階数 $n_m $ とします）。埋め込み $X\hookrightarrow \mathbf{P}^m\overset{零}{\hookrightarrow } V_m $ の法束を $N'\to X$ とします。もちろん、$X$ 上のベクトル束の完全系列 \[
0\to N\to N'\to V_m|_X \to 0
\] があります。さて今、$\mathbf{P}^m $ に定理を仮定しているので、次の図式のはじめの射 $f$ がデータとして与えられています。\[\begin{array}{rl}
T^{n_m+m}\xrightarrow{f} Th_{\mathbf{P}^m} (V_m)&=V_m / (V_m -\mathbf{P}^m) \\
 {}&\to V_m / (V_m - X) \xrightarrow[\text{purity }]{\sim } Th_X(N') 
\end{array}\] この合成射とベクトル束 $N'$ が $X$ に関して定理の主張をみたすことを示せばよいです。第 2 の条件の方がメインだと述べましたので、こちらだけ扱います。

　次数写像との整合性が示すべき条件ですが、体拡大との整合性がわかっているので、$X$ が有理点 $x$ を持った場合に、それの類が $1\in \mathbf{Z}$ に写ることを見ればよいです。$x$ の類とは正確には、$a_x\in H^{2d,d}(X,\mathbf{Z})$ を点 $x$ がこのコホモロジー群に定める元とするとき： \[
t_{N'}\ \Lambda\ a_x \in H^{2(n'+d),n'+d} (Th_X(N'),\mathbf{Z})
\] です。ベクトル束 $N'$ の階数を $n'$ と書きました。上の短完全列により、$n'= (m-d)+n_m $ です。正則埋め込みの列 $X\hookrightarrow \mathbf{P}^m\hookrightarrow V_m $ に関する基本的な事実から、これの $Th_{\mathbf{P}^m}(V_m) $ への引き戻しは \[
t_{V_m}  \text{ Λ } a_x \in H^{2(n_m+m),n_m+m} (Th _{\mathbf{P}^m},\mathbf{Z} )
\] に等しいです。ここで $x\in \mathbf{P}^m $ の類も同じ記号 $a_x\in H^{2m,m}(\mathbf{P}^m,\mathbf{Z})$ で記しました。定理が $\mathbf{P}^m $ に対して仮定されていることから、これの $T^{n_m+m}$ への制限は $1\in \mathbf{Z} $ となります。◼️

定理の射影空間の場合は、かなり真面目な図形的議論が要ります。

[$\mathbf{Z}/2$-coeff. §2] 後半 (Lemma 2.7 -- Lemma 2.10)

紙幅は要しますが、のんびりと Jouanolou のトリックの復習から始めましょう。\( \mathbf{P}^d\) を、 \( k^{d+1}\) の中の \( 1\) 次元部分ベクトル空間をパラメタづける射影空間とし、その双対 \( \check{\mathbf{P}}^{d+1}\) を、\( k^{d+1}\) の中の余次元 \(1\) 部分ベクトル空間をパラメタづける射影空間とします。(言い換えれば、双対ベクトル空間 \( (k^{d+1})^*\) の中の直線をパラメタづける射影空間です。) 

\( H\subset \mathbf{P}^{d+1}\times \check{\mathbf{P}^{d+1} } \) を、incidence hyperplane とします。つまり、\( \overrightarrow{v}\in k^{d+1}\) と \( f\in (k^{d+1})^*\) の組で、\( f(\overrightarrow{v})=0 \) in \( k\) となっているものが \( H\) に属します。\[\widetilde{\mathbf{P}}^d
:=\mathbf{P}^{d+1}\times \check{\mathbf{P}}^{d+1} \setminus H
\] から \( \mathbf{P}^{d+1}\) への第 1 射影を考えると、それぞれの点のファイバーは (射影空間 \( \setminus \) 超平面 ) = (アフィン空間) の形になっており、アフィン空間束とわかります。

物理っぽい記号を使うと、部分集合 \(H\) は以下のような感じになっています。\( k^{d+1}\) の基底を \( \overrightarrow{e_0},\dots ,\overrightarrow{e_d}\) とするとき、非零ベクトル \( x^0\overrightarrow{e_0}+\dots +x^d\overrightarrow{e_d} \) は \(\mathbf{P}^{d+1}\) の点 \( (x^0:\dots :x^d) \) を定めます。

\( (k^{d+1})^*\) に双対基底 \(\overrightarrow{e^0},\dots ,\overrightarrow{e^d} \) をとるとき、非零ベクトル \( y_0\overrightarrow{e^0}+\dots +y_d\overrightarrow{e^d} \) は、点 \( (y_0:\dots :y_d)\in \check{\mathbf{P}}^{d+1} \) を定めます。 この記号のもと、\( H\) は関係式 \( x^0y_0 +\dots x^dy_d =0 \) で定義されます。このことから、\( H \) は Segre 埋め込み \[
\mathbf{P}^{d+1}\times \check{\mathbf{P}}^{d+1}
\quad\hookrightarrow\quad
\mathbf{P}^N\qquad N= (d+1)^2 -1
\] において \( \mathbf{P}^N\) の中の或る超平面と、埋め込まれた \(\mathbf{P}^{d+1}\times \check{\mathbf{P}}^{d+1} \) との交わりです。したがって、\[ 
\widetilde{\mathbf{P}}^d \subset \mathbf{P}^N \setminus \text{超平面}
\] の形になっているので、\( \widetilde{\mathbf{P}}^d\) はアフィンスキームとわかります。これで射影空間上のアフィン空間束で、それ自身はアフィンスキームであるものが構成できました。射影空間に閉部分スキームとして埋め込まれたスキーム \( X\) に対しては、すべてこの構成で \(X\) 上のアフィン空間束であってそれ自身はアフィンスキームであるものが得られたことになります。これを (もう少し頑張って一般の quasi-projective スキームに対しておこなったものを) Jouanolou のトリックと言います。(Jouanolou's device とも言います。)

射 $s=(\mathrm{id},\mathrm{pr}_2)\colon \widetilde{\mathbf{P}} ^d \hookrightarrow \widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d $ を考え、それに対する法束を $E$ とします。\[
E \text{ : normal bundle to }\widetilde{\mathbf{P}} ^d \overset{s}{\hookrightarrow }\widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d .
\] $s $ は、$\mathrm{id}_{\mathbf{P}^d}\times \mathrm{diag}\colon $ $\mathbf{P}^d \times \mathbf{P}^d \to $ $\mathbf{P}^d\times\mathbf{P}^d\times\mathbf{P}^d $ の制限で、その法束は $\mathcal{O}_{\mathbf{P}^d} \boxtimes _k T_{\mathbf{P}^d} $ です。なので、$E$ は第2射影 $\widetilde{\mathbf{P}}^d \to\mathbf{P}^d $ による$T_{\mathbf{P}^d }$ の引き戻しです：\[\begin{array}{rcl}
&E &= \mathrm{pr}_2^* T_{\mathbf{P}^d},  \\
\text{ hence }\quad & E\oplus \mathrm{pr}_1^* T_{\mathbf{P}^d} &= T_{\mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d} |_{\widetilde{\mathbf{P} }^d}
\end{array}\] ここで Segre 埋め込み $i_{d,d}\colon \mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d $ $\hookrightarrow \mathbf{P}^{d^2+2d}$ の法束を $N$ とします：\[
N= \frac{T_{\mathbf{P}^{d^2+2d} } }{ T_{\mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d} } \text{: normal bundle to } \mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d \overset{i_{d,d} }{\hookrightarrow }\mathbf{P}^{d^2+2d}.
\] 

局所閉埋め込み $\widetilde{\mathbf{P}}^d\subset \mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d \overset{i_{d,d}}{\hookrightarrow } \mathbf{P}^{d^2+2d}$ を考え、この補集合をつぶすことを考えます。\[
\mathbf{P}^{d^2+2d}\longrightarrow \mathbf{P}^{d^2+2d} / (\mathbf{P}^{d^2+2d} -\widetilde{\mathbf{P}}^d )
\] これにあたり、$\mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d$ の補集合をつぶしてから、$H:= \mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d - \widetilde{\mathbf{P} }^d $ の像をつぶすことにします。初めのつぶしで得られるものは：\[
Th_{\mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d} (N) 
\] で、これの中で $Th_{H}(N|_H )$ をつぶします。これを計算するのは、$H$ を $\mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d$ の中でつぶすのを計算するのと同じです。何故かは知りませんが、これを計算するには先程来の $\mathbf{A}^1$-同値 $h=\mathrm{pr}_1\times \mathrm{id}\colon \widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d \to \mathbf{P}^d\times\mathbf{P}^d $ で引き戻したほうが便利だと判明します。というのも、$\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d$ の中で、$h^{-1}(H)$ と $s(\widetilde{\mathbf{P}}^d) $ は交わらず、しかも包含 \[ h^{-1}(H)\hookrightarrow\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d -s(\widetilde{\mathbf{P}}^d) \] は $\mathbf{A}^1$-同値です。(第1成分$x\in \mathbf{P}^d$を止めてファイバーを見ると分かりやすいです。$\mathbf{P}^{d -1 }_x:= \{ y\in \mathbf{P}^d\mid x\cdot y=0 \} $, $\mathbf{A}_x^d:= \{ y\in \mathbf{P}^d\mid x\cdot y\neq 0 \} $ という記号を使いましょう。すると左辺は $h^{-1}(H)_x = \mathbf{A}^d_x\times \mathbf{P}^{d - 1}_x $ であり、右辺は $\mathbf{A}^d_x\times \mathbf{P}^d - \mathrm{diag}_{\mathbf{A}^d_x}$ です。さらに第1成分 $y\in \mathbf{A}^d_x$ も固定すると、右辺と左辺は \[
\mathbf{P}^{d - 1}_x \quad\text{と}\quad \mathbf{P}^d - \{ y\} 
\] で、$y$ を中心とする線形射影が左向きにあり、ファイバーが $\mathbf{A}^1$ になっています。) そこで、\[\begin{array}{l}
\mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d / H \xleftarrow[\sim ]{h } &
\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d / \{\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d - h^{-1}(H)\} \\
&\xrightarrow{\sim }
\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d / \{\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d - s(\widetilde{\mathbf{P}}^d)\}
\end{array}\] で、右辺は homotopy purity により (法束に $E$ という名がついていたことを思い出して) $Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d}(E) $ と同値となります。まとめると、計算したかった商は \[
\mathbf{P}^{d^2+2d}/ (\mathbf{P}^{d^2+2d}-\widetilde{\mathbf{P}}^d) \simeq   Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d } (E\oplus N)
\] ということになります。$H$ は $\mathbf{P}^{d^2+2d}$ のある超平面 $H_\infty $ の制限なので、射 \[ T^{d^2+2d}=\mathbf{P}^{d^2+2d}/H_{\infty } \to\mathbf{P}^{d^2+2d}/ (\mathbf{P}^{d^2+2d}-\widetilde{\mathbf{P}}^d) \simeq   Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d } (E\oplus N) \] が考えられます。これが定理の証明の本質的な部分です。

 全部書くと論文を逐語訳するのとほとんど変わらなくなるので、あとはちょっとした写像の整合性をメモするにとどめます。残りは論文をみてください。

写像の整合性

$x\in \mathbf{P}^d$ を有理点とし $a_x\in H^{2d,d}(\mathbf{P}^d,\mathbf{Z})$ をその類とする。これの定義を思い出しましょう。商写像 $\mathbf{P}^d\to\mathbf{P}^d/(\mathbf{P}^d- \{ x\} )$ を考えます。右辺のコホモロジー $\widetilde{H}^{2d,d}$ はホモトピー純性とThom同型により \[
\cong \widetilde{H}^{2d,d}(Th_x(N_{\mathbf{P}^d,x} ),\mathbf{Z} ) \cong \widetilde{H}^{0,0}(x_+ ,\mathbf{Z})=\mathbf{Z} \] です。右辺には特別な元 $1$ があるので、その制限写像による像を $a_x$ としているのでした。\[\begin{array}{cc}
\mathbf{Z} =\widetilde{H}^{2d,d}(\mathbf{P}^d / (\mathbf{P}^d - \{ x\} ),\mathbf{Z} ) &\to \widetilde{H}^{2d,d}(\mathbf{P}^d ,\mathbf{Z} ) \\
1\mapsto & a_x .
\end{array}\] このように、スムーズ部分多様体 $Z\subset X$ のサイクル類は、商写像 $X\to X/ (X-Z)$ から来ます。サイクル類の関わる等式を示す最初のステップは、この商写像を追跡することです。$x_0\in \mathbf{P}^d$ を、$(x,x_0)\not\in H$ な点としてとります。次の図式で、上端において $i_{d,d}( (x,x_0) )\in \mathbf{P}^{d^2+2d}$ のサイクル類が一方にあり、下端において $p^{-1}(x)\subset \mathbf{P}^d $ のサイクル類に対応する $Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d }(E\oplus N) $ のコホモロジー類がもう一方にあります。この二つを比較せねばなりません。 \[\begin{array}{ccc}
\mathbf{P}^{d^2+2d}&\xrightarrow{つぶす} &\mathbf{P}^{d^2+2d}/(\mathbf{P}^{d^2+2d}-j(x) ) \\[10pt]
{}_{\text{purity} }\quad\downarrow \simeq &&\downarrow \simeq \\[10pt]
Th_{\mathbf{P}^d\times \mathbf{P}^d} (N)&\xrightarrow{つぶす} &N/ \{ N-\mathrm{zero}((x,x) ) \} \\[10pt]
{}_{h=\mathrm{pr}_1\times \mathrm{id}} \quad\uparrow \simeq _{\text{fiber }\mathbf{A}^d} &&\uparrow {}_{つぶす}\\[10pt]
Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d} (h^*N)&=&h^*(N)/\bigl\{ h^*(N)-\mathrm{zero}(\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d) \bigr\}  \quad (\bigstar ) \\[10pt]
{}_{つぶす}\quad\downarrow && \downarrow {}_{つぶす}\\[10pt]
h^*(N) / \{ h^*(N)-s(\widetilde{\mathbf{P} }^d) \} &\xrightarrow{つぶす} & h^*(N) / \{ h^*(N)-s (p^{-1} (x) ) \} \\[10pt]
{}_{\text{purity} }\quad\downarrow \simeq && \downarrow \simeq \\[10pt]
E\oplus N /\{ E\oplus N - \mathrm{zero}(\widetilde{\mathbf{P}}^d )\} &\to & E\oplus N / \{ E\oplus N - \mathrm{zero}(p^{-1}(x) )\}  \\
|| && \\
Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d } (E\oplus N)&&
\end{array}\]  　(★) のついた行から下の部分で、つぶす写像の追跡によって、$p^{-1}(x)\subset \widetilde{\mathbf{P} }^d $ の類を $Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d} (h^*(N) )$ まで引き戻すと$s (p^{-1}(x) ) \subset \widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d $ の類 $a_{s (p^{-1}(x) ) }$ とThom類 $t_{h^*N }$ の積、つまり \[
t_{h^*N} \ \Lambda \ a_{s (p^{-1}(x) ) } \in H^{2d,d}(Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d} (h^*(N) ) ,\mathbf{Z})
\] となることが分かります。

　一方、(★) よりも上の部分から、$i_{d,d}(x,x_0)\in \mathbf{P}^{d^2+2d}$ の類は $Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d }(h^*N )$ で見るとThom類 $t_{h^*N}$ と$h^{-1}((x,x_0) )$ の類 $a_{h^{-1}(x,x_0) }$ の積、つまり \[
t_{h^*N} \ \Lambda \ a_{h^{-1}(x,x_0) } \in H^{2d,d}(Th_{\widetilde{\mathbf{P}}^d \times \mathbf{P}^d} (h^*(N) ) ,\mathbf{Z})
\] になります。

　ふたつの類 $a_{s (p^{-1}(x) ) }$ と $a_{h^{-1}(x,x_0) }$ はアプリオリには同じではありませんので、これらを $\mathrm{CH}^{2d}(\widetilde{\mathbf{P}}^d\times \mathbf{P}^d)$ の中で比較する必要があります。両方とも $p^{-1}(x)\times \mathbf{P}^d$ に含まれるので、この多様体の Chow 群の中で比べればよいです。$p^{-1}(x)$ は $\mathbf{A}^d_x$ に同型なので、こう書くことにしましょう。

　というわけで、 $\mathrm{CH}^d(\mathbf{A}^d_x\times \mathbf{P}^d )\cong \mathrm{CH}^d(\mathbf{P}^d) \cong \mathbf{Z}$ の中でふたつの部分多様体 \[
\mathrm{diag}_{\mathbf{A}^d_x}  \quad と\quad \mathbf{A}^d_x \times \{ x_0 \} \quad \subset \mathbf{A}^d_x\times \mathbf{P}^d 
\] の類が等しいことを示したいです。上の Chow 群のひとつめの同型を右向きに計算するには、サイクルを任意の切断 $\mathbf{P}^d \to \mathbf{A}^d_x \times \mathbf{P}^d$ によって引き戻せばよいです（well-defined に引き戻せるような切断を選ぶ必要はあります）。このような切断は、一点 $\in \mathbf{A}^d_x$ への定数写像から誘導されるものしかありませんから、$x_0$ への定数写像を選んでみます。すると、$\mathrm{diag}_{\mathbf{A}^d_x}$ と $\{ x_0\} \times \mathbf{P}^d$ の交わりは $(x_0,x_0)$ ですから、この引き戻しはちょうど $\{ x_0 \} \subset \mathbf{P}^d$ となります。こうして、$a_{s(p^{-1} ) }$ と $a_{h^{-1}(x,x_0)}$ が等しいことが確認できました。このあたりの議論は論文では省かれていたので、私と同様に混乱してしまう人もいるかもしれないと思い詳細に記しておきました。