可逆イデアルの特徴付け
$\mathcal O$を1次元Noether整域とします。応用したいのは、$\mathcal O$が数体の整環の場合です。
$K$を$\mathcal O$の商体とします。
定義
$K$の部分$\mathcal O$-加群$\mathfrak a \subset K$が分数イデアルであるとは、$\mathcal O$-加群として有限生成であることである。
この条件は、ある$a\in \mathcal O\setminus \{ 0\} $が存在して$a\cdot \mathfrak a \subset \mathcal O$が成り立つことと同値である。
証明は簡単なので方針だけ述べます。「$\Rightarrow $」は、生成系$x_i$の各メンバーに対して$a_i$をとり、$a:=\prod _i a_i$とおけば良いです。
「$\Leftarrow $」は、$a\mathfrak a \subset \mathcal O$に$\mathcal O$のNoether性を適用します。◼️
非零な分数イデアル全体は、乗法に関して可換モノイドをなします。
定義
非零分数イデアル$\mathfrak a$が可逆であるとは、非零分数イデアルのなすモノイドの可逆元であることである。つまり分数イデアル$\mathfrak b$が存在して \[ \mathfrak a \mathfrak b = \mathcal O\] が成り立つことである。
命題
非零分数イデアル$\mathfrak a$が可逆であるとき、その逆イデアルは必然的に次である \[ \mathfrak b := \{ x\in K \mid x\mathfrak a \subset \mathcal O \} . \]
証明
まず、$\mathfrak b$が$K$の部分$\mathcal O$-加群になっていることは暗算でも確認できるでしょう。$\mathfrak a$には逆イデアルが存在することになっているので、$\mathfrak a ^{-1}$と書きます。関係式$\mathfrak a \mathfrak a^{-1} =\mathcal O$から、$\mathfrak a ^{-1}\subset \mathfrak b$は明らかです。一方、$\mathfrak b$の定義から$\mathfrak b \mathfrak a \subset \mathcal O$なので、両辺に$\mathfrak a ^{-1}$をかけると$\mathfrak b \subset \mathfrak a ^{-1}$を得ます。最後の、$\mathfrak a ^{-1}$をかける操作で、$\mathfrak b $が分数イデアルと予め知っている必要はありません。$K$の部分$\mathcal O$-加群の意味で行なっていることにすれば、意味のある操作です。◼️
命題
$\mathfrak a\subset K$を非零分数イデアルとする。これが可逆であるという条件は、以下のそれぞれの条件と同値である。
(1) 任意の元$m\in \mathcal O \setminus \{ 0\}$に対して、ある$\alpha \in \mathfrak a$が存在して、次の$\mathfrak a $の部分加群の等式が成り立つ \[ \alpha \mathcal O + m\mathfrak a = \mathfrak a . \]
(2) $\mathfrak a$は$\mathcal O$-加群として平坦（射影的とも同値）である。
(3) ...
証明
たぶん以下で利用するのは「可逆$\Rightarrow $ (1)」なので、さらなる必要が生じるまではこれの証明のみ書いておきます。まず、一般論により有限個の極大イデアル$\mathfrak p_1,\dots ,\mathfrak p_s$と指数$e$があってイデアルの包含$(\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_s)^e \subset (m)$が成り立ちます。この事実の証明はこの記事の末尾に念のため付けました。そこで実際には次のことを示します：剰余加群 \[ \mathfrak a / (\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_s)^e \mathfrak a \] は単元生成である。素イデアルの個数が1個の場合 ($\mathfrak p$としましょう) をまず考えます。関係式$\mathfrak a \mathfrak a ^{-1}=\mathcal O$から、元$\alpha _1 ,\dots ,\alpha _t \in \mathfrak a$および$\beta _1,\dots ,\beta _t\in \mathfrak a ^{-1}$があって$\alpha _1\beta _1 +\dots +\alpha _t\beta _t =1$が成り立ちます。左辺の少なくとも一つの項は$\mathfrak p$に属しません。番号を付け替えて、$\alpha _1\beta _1$だったことにします。このとき$\mathcal O$のイデアルの等式$\alpha _1\beta _1 \mathcal O + \mathfrak p ^e = \mathcal O$が成り立ちます（左辺が単位イデアルでないとすると、ある極大イデアル$\mathfrak m$に含まれなければならないが、$\mathfrak p^e$を含みうる極大イデアルは$\mathfrak p$のみである。一方第1項は$\mathfrak p$に含まれないのでした）。両辺に$\mathfrak a$をかけると $ \alpha _1(\beta _1\mathfrak a) +\mathfrak p^e\mathfrak a =\mathfrak a $ となります。第1項は$\alpha _1 \mathcal O$に含まれるので、示したい関係式 \[ \alpha _1\mathcal O + \mathfrak p^e\mathfrak a =\mathfrak a \] が言えました。極大イデアルの個数が一般の場合は、中国剰余定理により$\mathfrak a / (\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_s)^e \mathfrak a = \prod _i \mathfrak a / \mathfrak p_i ^e \mathfrak a$なので、直積の各項が単元生成であることから、全体としても単元生成 ($\cong\prod _i \mathcal O / \mathfrak p_i ^e \mathcal O = \mathcal O /(\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_s)^e $) です。◼️
次の系は、分数イデアルの中の星座を考える際に利用されます。
系
$\mathfrak a$を可逆分数イデアルとし、$m\in \mathcal O\setminus \{ 0\} $とする。このとき$\exists b\in K^* $に対して次が成り立つ：$ b\mathfrak a $は$\mathcal O$に含まれかつ$m $と互いに素。
証明
可逆分数イデアルである$\mathfrak a^{-1}$が命題の条件 (1) を満たすので、ある$\alpha \in \mathfrak a ^{-1}$に対して関係式 \[ \alpha \mathcal O + m\mathfrak a ^{-1} =\mathfrak a ^{-1} \] が成り立つ。この両辺に$\mathfrak a$をかけると \[ \alpha \mathfrak a + m\mathcal O = \mathcal O \] を得る。$b=\alpha $が欲しい性質を持つ元である。◼️
