2次形式と可逆分数イデアル
あとまわしにしていましたが、整数係数2変数2次形式と、2次体の整環の可逆分数イデアルの間のすばらしい対応についてまとめて置きたいと思います。
筆者は谷口氏の記事「高次合成則入門」で初めに知りました：http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B25/pdf/B25_011.pdf
諸定義
2次形式に関する諸定義と、2次体の整環に関する諸定義が必要です。
定義
(整数係数2変数の) 2次形式とは、写像 $F\colon \mathbf Z^2 \to \mathbf Z $ であって、標準基底について $F(x,y)= ax^2+bxy+cy^2$ の形で書かれるものである。
2次斉次式 $ax^2+bxy+cy^2$ で書かれるという条件は、もちろん実際は基底の取り方に依りません。なので次の同値性の概念は自然です。ここでは向きも考慮した同値性を採用しています。
定義
2つの2次形式 $F,G\colon \mathbf Z^2\rightrightarrows \mathbf Z$ が同値であるとは、向きを保つある線型同型 $\iota \colon \mathbf Z^2 \xrightarrow{\cong} \mathbf Z^2$ があって $F=G\circ \iota $ を満たすことである：\[ \begin{array}{ccc}\mathbf Z^2 &\xrightarrow{F}& \mathbf Z \\ \iota \downarrow &\nearrow _G & \\ \mathbf Z^2 && \end{array} \]
定義
2次形式 $ax^2+bxy+cy^2$ の判別式とは、整数 $D=b^2-4ac $ のことである。（これは必然的に mod 4 で $D\equiv 0\text{ or }1$ を満たす。）
これは2次方程式でも出てくるので中学校以来おなじみでしょう。判別式は2次形式の同値で保たれる量です。$D$ が平方数のときは、式 $ax^2+bxy+cy^2$ は1次式の積に分解します。これが起こらない (つまり $D$ が平方数でない) 2次形式を非退化な2次形式と言います。また、$a,b,c$ が1以外の公約数を持たないようなものを原始的と言います。
非退化で原始的な、判別式 $D$ の2次形式の同値類全体の集合を \[ Q(D) \] とでも記しましょう (quadratic forms の頭文字です。非退化で原始的という条件は記号には陽に含めていませんが)。
2次体の整環に関する諸定義
平方数でない整数 $d\in \mathbf Z$ に対して2次体 $\mathbf Q(\sqrt d)$ が考えられますが、この記事ではこれを $\mathbf C $ の部分体と考えることにします： \[ \mathbf Q(\sqrt d)\subset \mathbf C . \] つまり、$d$ の平方根 $\sqrt d\in \mathbf C$ を、次のような通常の方法で選びます。$d>0 $ のときは $\sqrt d $ は正の実数、$d<0 $ のときは $\sqrt d$ は実部が正のものです。
定義
2次体 $\mathbf Q (\sqrt d)$ の整環とは、その部分環であってアーベル群として $\mathbf Z^2$ に同型なもののことである。たとえば $\mathbf Z [\sqrt d] = \mathbf Z \oplus \mathbf Z \cdot \sqrt d $ など。
判別式
$K=\mathbf Q(\sqrt d)$ の判別式 $d_K$ を、mod 4 で $d\equiv 1$ のときは $d_K:= d$と定め、$d\equiv 2 \text{ or } 3$ のときは $d_K:= 4d$ と定めます。もっと intrinsic な定義もありますが、ここでは省きます。
整環 $O\subset O_K$ の判別式 $ D$ を、$D:= [O_K:O]^2 d_K$ で定めます。これも intrinsic な定義がありますが省きます。事実として、2次体 $K=\mathbf Q(\sqrt d)$ と整環 $O\subset K$ の組は、判別式 $D$ で完全に決まります：\[ \{ D\equiv 0,1 \text{ mod }4 \mid \text{not a square} \} \cong \{ O\subset K \mid K \text{ some quadratic field} \} \] 実際、$d$ を $D$ から平方因子を除いたものから復元できることは見易いです。そして、2次体の場合は整環の形が割と制限されていて、$O=\mathbf Z \oplus \mathbf Z \cdot (f\omega )$ (ここで $\omega $ は $\sqrt d $ または $\frac{1+\sqrt d}{2}$) と必ず書けます。このことから、$D$ に含まれる平方因子を見れば $O$ まで確定できます。
定義
$O $ を2次体の整環とする。そのイデアル $\mathfrak a \subset O$ が可逆であることの定義は、記事「可逆イデアルの特徴付け」を参照されたい。
定義
$O$ を整環とする。アーベル群 $\mathrm{Pic}^+(O)$ を次のように定める。まず、分数イデアル $\mathfrak a \subset K$ と符号 $\varepsilon \in \{ \pm 1\} $ の組のなすアーベル群 $I_O \times \{ \pm 1 \} $ を考える。$K^*$ からこれへの準同型を、$x\mapsto (xO , \text{ sgn of }N_{K/\mathbf Q}(x) )$ で与える。$\mathrm{Pic}^+(O)$ をこの準同型の余核とする：\[ 1\to \{ u\in O^* \mid N_{K/\mathbf Q}(u)=1\} \to K^* \to (I_O\times \{ \pm 1\} ) \to \mathrm{Pic}^+(O) \to 0. \]
すばらしい対応
定理
次のような全単射がある：\[ Q(D) \cong \mathrm{Pic}^+(O). \]
証明 --- ステップ 1
まずは写像の記述を与えます。写像「$\leftarrow $」は以下です。$(\mathfrak a,\varepsilon )$ を符号付分数イデアルとします。$\mathfrak a $ のアーベル群としての基底 $\alpha ,\beta \in \mathfrak a$ を、包含 $\mathfrak a \subset \mathbf Q(\sqrt d) $ を通じて $\mathbf Q (\sqrt d)$ の $\mathbf Q$-基底 $(1,-\sqrt d)$ と比べて $\varepsilon $ 倍の向きになるように取ります (つまり $\varepsilon =1$ なら同じ向きで、$-1$ なら逆の向き)。$\sqrt d$ に付いている $-1$ がもどかしいですが、谷口氏の文書ではそうすべきことになっています。
このとき2次形式 $F(x,y) $ を \[ F(x,y):= \frac{N_{K/\mathbf Q} (\alpha x-\beta y)}{\varepsilon N(\mathfrak a)} \] で定めます。ここでも $\beta $ に付いた $-1$ がもどかしいですが、しょうがないです。
もどかしがってばかり居ずに、単に $(\alpha ,\beta )$ が $(1,\sqrt d )$ の $\varepsilon $ 倍の向きになるようにとって、$F(x,y)$ を $N_{K/\mathbf Q}(\alpha x+\beta y)$ を分子として定義すればいいだけのような気もします。$\beta $ と $-\beta $ が入れ替わるだけなので。
こうして得られる2次形式がイデアル類にしか依らないことは、$\gamma \in K^* $ を掛けてみたときに次の図式が可換であることから確認できます：\[ \begin{array}{ccccc} &&\mathfrak a && \\
&(\alpha ,\beta ) \nearrow &&\searrow \frac{N_{K/\mathbf Q}(-) }{\varepsilon N( \mathfrak a)}& \\
\mathbf Z^2 &&\downarrow \gamma \times && \mathbf Z \\
&(\gamma \alpha ,\gamma \beta )\searrow &&\nearrow \frac{N_{K/\mathbf Q}(-) }{\mathrm{sgn}(\gamma )\varepsilon N(\gamma \mathfrak a)}& \\
&&\gamma \mathfrak a&& \end{array} \] 左の三角形が可換なのは当たり前です。右の三角形が可換なのは、$N_{K/\mathbf Q}(-)$ が乗法的であることと、分数イデアルの意味でのノルムと元のノルムについて $N(\gamma O)=|N_{K/\mathbf Q}(\gamma )| $ ($ = \mathrm{sgn}(\gamma )N_{K/\mathbf Q}(\gamma ) $) が成り立つことから分かります。$(\alpha ,\beta )$ は向き $\varepsilon $ の基底をとったことにしていて、このとき $(\gamma \alpha ,\gamma \beta )$ は $\gamma \mathfrak a$ の向き $\mathrm{sgn}(\gamma )\varepsilon $ の基底です。
得られた2次形式の判別式が、$O$ の判別式 $D$ に等しいことはチェックする必要があります。$N_{K/\mathbf Q} (\alpha x-\beta y)=(\alpha x -\beta y)(\overline\alpha x-\overline\beta y) $ を用いると2次形式は \[
\frac{\alpha\overline\alpha x^2 -(\alpha\overline\beta +\overline\alpha\beta )xy+\beta\overline\beta y^2}{\varepsilon N(\mathfrak a)}
\] と書けるため、判別式は明示的に \[
\frac{ (\alpha\overline\beta -\overline\alpha\beta )^2 }{N(\mathfrak a)^2 } \] と書けます。分子は $\mathrm{det}\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \overline\alpha & \overline\beta \end{pmatrix} $ の2乗です。この行列式は、体の判別式の定義に現れるのと同様のものです。そこで知られているように、\[ \mathrm{det}\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \overline\alpha & \overline\beta \end{pmatrix} =
\pm (O:\mathfrak a)
\mathrm{det}\begin{pmatrix}1 & f\omega \\ 1& f\overline\omega \end{pmatrix} \] 右辺に現れた行列式の2乗は $D$ に他なりませんから、これでちょうど帳尻が合いました。
写像「$\to $」は次のように定義されます。$F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ を2次形式とします。判別式が平方数でないと仮定しているので、$ac\neq 0$ です。特に $a\neq 0$ です。$τ \in O$ を次の数とします、$D:=b^2-4ac$を思い出しましょう：\[ τ := \frac{-b-\sqrt{D}}{2} \in O . \] $τ $ が実際に $O$ に属していることは、$b$ の偶奇によって場合分けが要りますが簡単に確かめられます。($b$ が奇数のときには、$d_K$ は必然的に mod 4 で $\equiv 1 $ になることに注意！すべての平方数は $\equiv 0 \text{ or } 1$ なので、$D\equiv 1$ ならば $d_K\equiv 1$ でなければなりません。) $τ $ は次の2次式をとるようにとってあります： \[ τ ^2 +b τ + ac =0 . \] この関係式により、次の部分アーベル群 $\mathfrak a \subset O $ がイデアルであることが分かります：\[ \mathfrak a := a \mathbf Z \oplus τ \mathbf Z \quad \subset O . \] 「符号付き可逆分数イデアル」に必要なデータである符号は、 \[ \varepsilon := \mathrm{sgn}(a ) \] と定めます。
このように定義したイデアル $\mathfrak a$ が可逆であることを示さなければなりません。条件「$ (\mathfrak a : \mathfrak a ) \subset O $」をチェックするのが便利です。まず、少々の場合分けに基づいて考えることで \[ O=\mathbf Z \oplus \mathbf Z τ \] が分かります。$x=g+h\beta \in K $ に対して、$x\mathfrak a \subset \mathfrak a $ のための必要十分条件は \[ xa \in \mathfrak a \text{ and } x τ \in \mathfrak a \] です。第1条件は、実際に計算してみることで次と同値です：\[ ag + ah τ \in \mathbf Z a \oplus \mathbf Z τ , \] つまり $g\in \mathbf Z $ かつ $a h \in \mathbf Z$. 第2条件は：\[ g τ + h (-b τ -ac ) \in \mathbf Z a \oplus \mathbf Z τ , \] つまり $c h \in \mathbf Z $ かつ $g-b h \in \mathbf Z $. 合わせると、$g\in \mathbf Z $ かつ $h\in (\frac{1}{a}\mathbf Z ) \cap(\frac{1}{b}\mathbf Z ) \cap(\frac{1}{c}\mathbf Z ) $ となります。$h$ に関する条件は、$a,b,c $ が公約数を持たないという条件により、$h\in \mathbf Z$ と同値となります。これで $\mathfrak a $ が可逆イデアルであることが確認されました。
写像「$\to $」が well defined であるためには、いま記述した手続きで得られる符号付イデアルが、$F$ を同値類の中で取り替えたときに up to 同値で変わらないことを示さなければなりません。これに相当する議論はステップ2以降で行います。ここまでの議論で次のような写像群が構成できています：\[ \begin{array}{ccl} &&\{ \text{quadratic forms with det }D \} \\ &\swarrow & \downarrow \text{ 標準的 全 射}\\ \mathrm{Pic}^+(O )& \to & Q(D) \end{array} \] 定理の全単射を確立するには、これが可換であることと、右向きの写像が単射であることを示せばいいです（集合論の簡単な演習問題）。
証明---ステップ2
与えられた2次形式から符号付イデアルを作って、その符号付イデアルから2次形式を作ると、もとの2次形式が得られることを確認します。
非退化で原始的な2次形式 $F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ をとります。その判別式を $D$ とします。これに対して \[ τ := \frac{-b-\sqrt D }{2} \] とおき、イデアル $\mathfrak a $ を \[ \mathfrak a := \mathbf Z a \oplus \mathbf Z τ \] ととるのでした。その基底 $(a,τ )$ の向きは $K$ の基底 $(1,-\sqrt d)$ の $\varepsilon :=\mathrm{sgn}(a) $ 倍です。よって、この符号付イデアルに付随する2次形式は \[ (x,y)\mapsto \frac{N_{K/\mathbf Q} (a x -τ y) }{\varepsilon N(\mathfrak a) } \] です。分母は $\varepsilon \cdot |a| = a$ となります。分子は \[ \begin{array}{cl} N_{K/\mathbf Q} (a x -τ y) &= (ax -τ y) (ax -\overline τ y) \\ &= a^2x^2 -a(τ +\overline τ ) xy +τ\overline{τ } y^2 \end{array} \] 2次方程式の、解と係数の関係から、$τ +\overline τ = -b $, $τ\overline τ = ac $ なので、\[ = a^2x^2 +abxy +ac y^2 \] となり、分母と相殺させると、ちょうど初めに与えた2次形式になります。谷口氏の文書に現れる負号のおかげで計算がぴったりになります。負号を嫌って convention を変えると、ここの計算はこれ程はうまくいかないようです。(Up to 同値でしか一致しない？)
証明---ステップ3
写像 $\mathrm{Pic}^+(O)\to Q(D)$ が単射であることを示します。ここはどなたかの修士論文 https://corentinperretgentil.gitlab.io/static/documents/correspondence-bqf-qf.pdf の命題2.24を参考にしました。
2つのイデアル $(\mathfrak a_1,\varepsilon _1)$ と $(\mathfrak a_2,\varepsilon _2) $ が、同値な2次形式を与えたとします。それぞれの $\mathbf Z$-基底 $(\alpha _1,\beta _1)$ と $(\alpha _2,\beta _2)$ を適当に選ぶことで、等しい2次形式が得られるとして良いです：
\[ \tag{*}
\frac{N_{K/\mathbf Q} (\alpha _1x - \beta _1 y ) }{\varepsilon _1 N(\mathfrak a_1)}
=
\frac{N_{K/\mathbf Q} (\alpha _2x - \beta _2 y ) }{\varepsilon _2 N(\mathfrak a_2)} .
\] $N_{K/\mathbf Q}(\alpha _i x-\beta _i y)=(\alpha _i x-\beta _i y )(\overline\alpha _i x-\overline\beta _i y)$ と書けます。この $x,y $ には任意の環の元を代入しても意味を持たせられます。$y=1$ のとき、この値が $0$ になる $x\in K $ の値は $x=\beta _i / \alpha _i $ と $\overline\beta _i / \overline\alpha _i $ です。($i=1,2$.) したがって \[ \frac{\beta _1}{\alpha _1} = \frac{\beta _2}{\alpha _2} \text{ or }\frac{\overline\beta _2}{\overline\alpha _2} \] です。書き換えると、ある $\lambda \in K^*$ があって $K^2$ の元として \[ (\alpha _1,\beta _1)=\lambda ( \alpha _2 ,\beta _2) \text{ or } \lambda (\overline\alpha _2,\overline\beta_2 ) . \] $\lambda $ 倍は向きを $N_{K/\mathbf Q}(\lambda )$ 倍し、共役をとると基底の向きが反転するので、以下のような理由で必ず前者が成り立ちます。いずれの等式が成り立つ場合も、等式を式 $(*)$ に代入すると \[ \frac{\lambda \overline\lambda (\alpha _2x-\beta _2 y)(\overline\alpha _2x-\overline\beta _2y)}{\varepsilon _1 N(\mathfrak a_1)}
=
\frac{ (\alpha _2x-\beta _2 y)(\overline\alpha _2x-\overline\beta _2y)}{\varepsilon _2 N(\mathfrak a_2)}
\] となることに注意します。したがって $N_{K/\mathbf Q}(\lambda )$ の値が別の量で書き表せられ、特にその符号は $\varepsilon _1 / \varepsilon _2$ と一致することがわかります。$(\alpha _1,\beta _1)=\lambda (\alpha _2,\beta _2)$ ならば向きが整合しますが、共役の方では向きが整合しなくなります。このような理由で $(\alpha _1,\beta _1)=\lambda (\alpha _2,\beta _2)$ が成り立ちます。
この等式から $\mathfrak a_1=\lambda \mathfrak a_2$ です。$\mathrm{sgn}(\lambda )=\mathrm{sgn}(\varepsilon _1/\varepsilon _2)$ と合わせて、符号付イデアルとして $(\mathfrak a_1,\varepsilon _1)=(\lambda )\cdot(\mathfrak a_2,\varepsilon _2)$ となります。単射性が示せました。
以上で当該写像が全単射であることが従うのは、ステップ1の末尾で述べた通りです。図式を再掲しますので、目で観て確認してみてください。\[ \begin{array}{ccl} &&\{ \text{quadratic forms with det }D \} \\ &\swarrow & \downarrow \text{ 標準的 全 射}\\ \mathrm{Pic}^+(O )& \hookrightarrow & Q(D) \end{array} \] 2次形式から符号付イデアルへの、ナナメ方向の写像が、2次形式の同値類にしか依らないことも従います。
大変でしたが定理が確認できました。
