Hecke指標: 定義と構成法
とうとう逃れられなくなってきたので、仕方なくHecke指標と、それにより定まるL関数の勉強をきちんとすることにしました。
文献, 指標とは, イデール群, Hecke指標とは, 局所成分の決め方の自由度, パラメータtのはたらき
文献
John Tateの博士論文がCassels, Fröhlich 編「Algebraic Number Theory」末尾に掲載されていて、標準的な文献です。ネットに落ちているという噂を聞いたことがありますが、良い子の皆さんは正規の方法で入手・利用しましょう。
この記事では、Cassels-Fröhlich本のどこに書いてあるかなるべく明記します。ページ数は、本のページ数です。節番号はTate's thesisの節番号です。
佐藤篤氏による、Tate's thesis を勉強したというノートがあって、日本語で書かれているので、私のような怠け者にはありがたいです。
http://www.ipc.tohoku-gakuin.a
指標とは
Tate §3.2
位相群G上の準指標とは、連続準同型$c\colon G\to \mathbf C^*$のことです。
値がすべて絶対値1のとき、指標といいます。
あとで改めて述べますが、Hecke指標とは、イデール類群$\mathbf I_k / k^*$上の指標のことです。
イデールを念頭に置いて、Gが制限直積$\prod '_{\mathfrak p} G_{\mathfrak p}$の形とします。
$G_{\mathfrak p}$は局所コンパクト可換群で、制限直積は、有限個を除く$\mathfrak p$に対して予め指定された、コンパクト開部分群$H_{\mathfrak p}\subset G_{\mathfrak p}$に関してとっています。
$\widehat G_{\mathfrak p}$の部分群$H^*_{\mathfrak p}\subset \widehat G_{\mathfrak p}$を
\[ H^*_{\mathfrak p} := \{ c_{\mathfrak p} \mid c_{\mathfrak p} \text{ is trivial on }H_{\mathfrak p} \}
\]
で定義します。つまり$H^*_{\mathfrak p} = \widehat{G_{\mathfrak p}/H_{\mathfrak p}}$ですね。このとき指標群も制限直積の形に分解するそうです：
定理（Tate 3.2.1）
$\widehat{\prod '_{\mathfrak p} G_{\mathfrak p}} = \prod ' _{\mathfrak p} \widehat G_{\mathfrak p}$. ただし左辺は閉部分群$H^*_{\mathfrak p}$に関する制限直積。
証明を全部は書きませんが、対応は次のようになっています。
指標$c\colon G\to \mathbf C^*$が与えられたとき、制限$G_{\mathfrak p}\hookrightarrow G \xrightarrow c \mathbf C^*$によって指標$c_{\mathfrak p}\in \widehat G_{\mathfrak p}$を定めます。
この$c_{\mathfrak p}$が、有限個を除く$\mathfrak p$に対して$\widehat{G_{\mathfrak p}/ H_{\mathfrak p}}$に属していることを示すことで、左辺から右辺への対応が得られます。
（これを示すには、$1\in \mathbf C^*$の小さな開近傍Uをとって（部分群を含まなければよい。偏角$\pm 45$度以下など。）、それのcによる逆像を考えるとうまくいくようです。その際に制限直積の開集合の生成系がどんな形だったかを思い出します。）◼️
イデール群
Tate §4.3
kを数体とします。イデール群 $\mathbf I _k$とは制限直積
\[ \mathbf I _k = \prod ' _{\mathfrak p} k_{\mathfrak p}^* \]
のことです。ここで$\mathfrak p$は有限または無限素点全体をわたり、$k_{\mathfrak p}$は局所体で、制限直積は部分群$O_{k_{\mathfrak p} }^*$に関してとっています。
Tateは単に$I$と記しているので、この記事でもそう書くかもしれません。
$k^*$の像で割ったもの$\mathbf I_k / k^*$をイデール類群と言います。
絶対値を与える写像$\mathbf I_k \to \mathbf R_{>0}$があり、その核を$\mathbf J_k$または単にJと書きます。$k^*$の像は$\mathbf J_k$に含まれており、商$\mathbf J_k /k^*$はコンパクトです（類数の有限性+Dirichletの単数定理とほぼ同値）。
有限素点$\mathfrak p$で付値$k_{\mathfrak p}^*\to \mathbf Z$をとることにより、分数イデアルのなす群に向かって$\mathbf J_k$からの全射があります。$k^*$で割ると
\[ \mathbf J_k / k^* \twoheadrightarrow Cl(k) \]
となります。
Hecke指標とは
Tate pp.168--169
Heilbronn p.204
Tate §4.5
Hecke指標は、Grössencharekterや量指標とも呼ばれます。なんか用語がゴツいですね。歴史的な経緯から、同値な2通りの定義があります。
イデール的定義
Hecke指標とは、イデール群上の指標$c\colon \mathbf I_K \to \mathbf C^*$であって部分群$k^*$上で自明なものを指します。
イデアル的定義
無限素点をすべて含むような、素点の有限集合Sをとり、$I^S$を、集合$|\operatorname{Spec}(O_k)|\setminus S$で生成される自由アーベル群とします。Sに属する素イデアルたちと互いに素な分数イデアルのなす群と言っても同じです。
準同型写像$\phi \colon I^S\to \mathbf C^*$がadmissibleであるとは、$1\in \mathbf C^*$のどんな開近傍$U$に対しても、適切に小さな$0<\varepsilon \ll 1$をとれば、$a\in k^*$に関する次のimplication
\[ \forall \mathfrak p\in S \quad |1-a|_{\mathfrak p} < \varepsilon \Rightarrow \psi (a)\in U \]
が成り立つことを言います。
（格好良くいうと、$k^*\hookrightarrow \prod _{\mathfrak p\in S}k_{\mathfrak p}^*$によって$k$に相対位相を与えたときに、合成$k^*\xrightarrow{\text{付値}} I^S\xrightarrow{\phi }\mathbf C^*$が連続ということですね、多分。）
Hecke指標とは、いずれかのSに関するadmissibleな写像$\phi \colon I^S\to \mathbf C^*$のことを言います。
Sの取り方に任意性がありますが、Sを大きくして（＝$\phi $の定義域を小さくして）得られるものと、もとのものを同値とする同値関係を入れると便利です。
両定義の同値性
Tate pp.169--170
イデール的な意味でのHecke指標$c\colon \mathbf I_k / k^* \to \mathbf C^*$が与えられたとします。
制限直積上の指標に関する定理により、$c$は局所成分$c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak p} \to \mathbf C^*$に分解します。有限個の$\mathfrak p$を除いて$c_{\mathfrak p }\colon k^*_{\mathfrak p}/ O_{k_{\mathfrak p}}^* \to \mathbf C^*$と商を経由します。
このような経由が起こらない素点全体の集合をSと呼ぶことにします（無限素点はすべて含める習慣とします）。$k^*_{\mathfrak p}/ O_{k_{\mathfrak p}}^*\cong \mathbf Z$なので、写像
\[ \phi := \prod _{\mathfrak p \not\in S} c_{\mathfrak p} \colon\quad I^S= \prod _{\mathfrak p\not\in S}\mathbf Z \to \mathbf C^* \]
が考えられます。
この$\phi $はadmissibleです。このことは$c_{\mathfrak p}$の連続性と、$c$が$k^*$上自明であることからわかります。
逆にイデアル的な意味でのHecke指標$\phi \colon I^S\to \mathbf C^*$が与えられたとします。このときイデール的な意味のHecke指標を良い感じで構成したいですが、こちらのステップは概略のみ記します。
$c\colon \mathbf I_k\to \mathbf C^*$を構成するには、局所成分$c_{\mathfrak p}$を決めてやればよいです。Sの外の素点に関しては、$\phi $の第$\mathfrak p$成分を$c_{\mathfrak p}$と定めます。
$\mathfrak p\in S$に対して連続準同型$c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak p}\to \mathbf C^*$を決めたいです。$k^*_{\mathfrak p}$の元をひとつ決めたとき、これに収束し、かつ他の$\mathfrak p\in S$では$1$に収束するような$k^*$の元の列を考えることで対応します。（いわゆる近似定理を使っています。）◼️
私にとっては、イデール的な見方の方が便利であることが判明します。
局所成分の決め方の自由度
制限直積上の指標に関する定理から、Hecke指標$c\colon \mathbf I_k\to \mathbf C^*$を与えることと、指標$c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak p}\to \mathbf C^*$たちであって次の条件を満たすものを与えることが同値です。
・有限個の$\mathfrak p$を除いて$c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak p}/O_{k_{\mathfrak p}}^* \to \mathbf C^*$と経由する。（ここに現れる有限個の例外的な素点の集合をSとおきましょう。無元素点はすべてSに含まれる習慣とします。）
・$c=\prod _{\mathfrak p}c_{\mathfrak p}$は$k^*$の元を$1$に送る。
まずは個々の$\mathfrak p$に対して、$c_{\mathfrak p}$としてどのような写像がありうるのかを知っている必要があります。
$c_{\mathfrak p}$は指標なので、値は絶対値1であることに注意しましょう！
$\mathbf C^*$の中の絶対値1の元なす部分群を$S^1\cong \mathbf R/2\pi \mathbf Z$と書くことにします。
実数体
Tate §2.5
$\mathbf R^* \to S^1$はどのくらいの多様性があるでしょうか？定義域を加法的に書くと
\[ \mathbf R^* \cong \mathbf R \oplus \{ \pm 1\} . \]
連続準同型$\mathbf R \to \mathbf R/2\pi \mathbf Z$のチョイスは、原点での速さのチョイスのみで決まります。
パラメーター$t\in \mathbf R$に対応する写像は$x\mapsto tx $です。$\mathbf C^*$の元として書くと$e^{ i t x}$です。
$\mathbf R_{>0}^*\to \mathbf C^*$と思って書くと$x\mapsto x^{ i t }$です。
連続準同型$\{ \pm 1\} \to \mathbf C^*$は、-1を-1に送るか、それとも+1に送るかのチョイスで決まります。
チョイスの空間は$\mathbf R\times \{ \pm 1\} $となります。
複素数体
Tate §2.5
$\mathbf C^* \to \mathbf S^1$は、偏角を何倍するか、および、絶対値部分$\mathbf R_{>0}\cong \mathbf R$からの写像によって決まるので、チョイスの集合は$\mathbf R \times \mathbf Z$に同型です。
パラメータ$(t,n)$に対応する写像は $xe^{ i y} \mapsto x^{ i t } e^{ n y}$などと書けます。
局所体
Tate §2.5
$k_{\mathfrak p}^* = \mathbf Z \oplus O_{k_{\mathfrak p} }^*$です（素元のチョイスに依る）。第2成分は副有限群なので、連続準同型$O_{k_{\mathfrak p} }^* \to S^1$は有限商$O_{k_{\mathfrak p} }^* / (1+\mathfrak p^nO_{k_{\mathfrak p} } ) $を経由します。
チョイスの空間は$S^1 \times \widehat{O_{k_{\mathfrak p} }^*}$とだけ書いておきましょう。
与えられた元$x\in k^*_{\mathfrak p}$に対して、選んだ素元を用いて付値を0に正規化した元を$\widetilde x \in O_{k_{\mathfrak p}}^*$と書くことにします。
このとき、パラメーター$(t,\widetilde c_{\mathfrak p})$に対応する写像は$x\mapsto |x|_{\mathfrak p}^{it}\widetilde c_{\mathfrak p}(\widetilde x)$の形になります。
制約下でのチョイスの自由度
Tate §4.5
素点の有限集合Sを、Sの外では$c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak p}/O_{k_{\mathfrak p}}^*\to S^1$と書けるものとして定めてありました。このような素点では、$c_{\mathfrak p}$のチョイスの幅はパラメーター$\in \mathbf R/2\pi \mathbf Z$のチョイスの幅と同じということになります。
この部分はまとめて$\chi \colon I^S \to S^1$を決める問題として考えることにします。
Sに属する素点では$c_{\mathfrak p}$のチョイスは上に述べてきたとおりです。
というわけで、写像
\[ \left(\bigoplus _{\mathfrak p\in S} c_{\mathfrak p}\right) \oplus \chi \colon \quad \bigoplus _{\mathfrak p\in S} k^*_{\mathfrak p}\oplus I^S \to S^1 \]
を与えて、$k^*$の像に制限すると自明な写像になるという制約を満たすようにしたいです。
Sと、Sの外に分けて、段階的に考えます。
単項イデアルをとる写像と、Sの外の成分を無視する写像の合成$\varphi _S\colon k^*\to I \twoheadrightarrow I^S$を考えます。商$I^S/\varphi _S(k^*)$は、イデアル類群Cl(k)を、$\mathfrak p\in S_{fin}$たちで生成される部分群で割ったものと同じです。
核$\ker \varphi _S$は、$k^*$の元のうちSの外では付値0であるようなもの全体の集合なので、ちょうどS単数の群$O_{k,S}^*$となります。$O_{k,S}^*$のねじれ部分は1の冪根ひとつ$\varepsilon _0$で生成され、残りの部分は階数$m:= |S|-1$の自由アーベル群です。その生成元$\varepsilon _1,\dots ,\varepsilon _m $をえらびます（目的によっては、このチョイスを少し工夫したほうがよいか？$O_k^*$の基底を延長する形にとっておくなど）。
\[ \begin{array}{rcccl} 1\to O_{k,S}^*& \to &k^* &\to &\varphi _S(k^*)\to 0 \\ \cap &&\cap &&\cap \\ 0\to \bigoplus _{\mathfrak p\in S} k^*_{\mathfrak p} &\to &\bigoplus _{\mathfrak p\in S} k^*_{\mathfrak p}\oplus I^S&\to & I^S \to 0 \\ &&{ }&& \\ (c_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in S}\searrow ?&&\downarrow ?&& \swarrow \chi ? \\ &&S^1&& \end{array}\]
写像$(c_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in S}$を、$O_{k,S}^*$上で自明になるように定めることから始めたいです。
選べるパラメーターは無限素点$\mathfrak p\in S_\infty $に対しては
\[ (t_{\mathfrak p},n_\mathfrak p)\in \mathbf R \times \mathbf Z \text{（ただし実素点の場合は第2成分は$\mathbf Z /(2)$）}\]
有限素点$\mathfrak p\in S_{fin}$に対しては
\[ (t_{\mathfrak p},\widetilde c_{\mathfrak p})\in (\mathbf R/2\pi \mathbf Z) \times \widehat{O_{k_{\mathfrak p} }^* } \]
です。
1の冪根$\varepsilon _0$はあらゆる素点に対して絶対値1を持っているので、その$c_{\mathfrak p}$による値はパラメータ$t_{\mathfrak p}$のチョイスに左右されません。満たされるべき条件は
\[ \prod _{\mathfrak p\in S_\infty } f _{\mathfrak p}(\varepsilon _0)^{ n_{\mathfrak p} } \prod _{\mathfrak p\in S_{fin} } \widetilde c_{\mathfrak p} (\varepsilon _0) =1 \]
となります。$f_{\mathfrak p}$は、局所体への埋め込み$f_{\mathfrak p}\colon k\to k_{\mathfrak p}$です。パラメータ$n_{\mathfrak p}$と$\widetilde c _{\mathfrak p}$は、これを満たすようにここで固定したことにします。
次に基本単数$\varepsilon _\nu $が消えるという条件
\[ \prod _{\mathfrak p\in S} |\varepsilon _\nu |_{\mathfrak p} ^{i t_{\mathfrak p}} \cdot \prod _{\mathfrak p\in S_\infty } f _{\mathfrak p} (\varepsilon _\nu ) ^{n_{\mathfrak p}} \prod _{\mathfrak p\in S_{fin} } \widetilde c_{\mathfrak p} (\varepsilon _\nu ) =1 \]
を満たすように$t_{\mathfrak p}$を決めたいです。対数をとって、$t_{\mathfrak p}$と関係ない項を移項します。そして虚数単位 i で割ります。また、記号がややこしいことに気づいたので、無限素点に関する部分にも記号$\widetilde c_{\mathfrak p}$を用いることにすると
\[ \sum _{\mathfrak p\in S} t_{\mathfrak p} \log |\varepsilon _\nu |_{\mathfrak p} = \sum _{\mathfrak p\in S} i \log (\widetilde c_{\mathfrak p} (\varepsilon _\nu ) ) + 2\pi \mathbf Z. \]
$\log \widetilde c_{\mathfrak p}(-)$の形の数は、絶対値1の数の対数なので$i\mathbf R$の元です。なので右辺は実数値であることに注意しましょう。右辺は見づらいので、$\widetilde c$と$\nu $で決まる定数$C_{\widetilde c, \nu }$と書きましょう。
この関係式が$\nu =1,\dots ,m $に対して成り立たねばならないので、ベクトルの等式
\[ (t_{\mathfrak p_1}\ \dots \ t_{\mathfrak p_{ m+1} } ) \begin{pmatrix}\log |\varepsilon _1|_{\mathfrak p_1} & \cdots & \log |\varepsilon _m |_{\mathfrak p_1}\\ \vdots && \vdots \\ \log |\varepsilon _1|_{\mathfrak p_{m+1}} &\cdots & \log |\varepsilon _m |_{\mathfrak p_{m+1}}\end{pmatrix} = ( C_{\widetilde c,1} \ \dots \ C_{\widetilde c,m} ) +2\pi \mathbf Z ^m \]
が必要となります。左辺のm+1行m列行列の階数はmです（単数定理）。なので許容されるパラメータ$(t_{\mathfrak p_1}\ \dots \ t_{\mathfrak p_{ m+1} } )$の空間は、$\mathbf R\oplus 2\pi \mathbf Z ^m $の形をしていることがわかります。*1
このパラメータを決めると、無限素点に対する$c_{\mathfrak p}$を決めたことになります。
このチョイスのもと、$\chi \colon I^S \to S^1$に課される制約と、残った自由度を考えましょう。・・・（後日加筆）
パラメータtのはたらき
ちょっとここで立ち止まり、パラメータ$(t_{\mathfrak p_1}\ \dots \ t_{\mathfrak p_{ m+1} } )$の意味を味わいたいです。この値を適切に選んで、右辺の値が
\[ ( C_{\widetilde c,1} \ \dots \ C_{\widetilde c,m} ) +2\pi (T_1,\dots ,T_{m} ) \]
となったとしましょう。
無限素点と有限素点を分けて考えます。
無元素点
$r=r_1+r_2-1$を$O_k^*$の階数とし、基本単数を、$\varepsilon _1 ,\dots ,\varepsilon _r $が$O_k^*$の基底となるようにとってあったことにしましょう。
（$O_k^*$と$O_{k,S}^*$のねじれ群は同じなので、このようなチョイスはいつでも可能です。）
一般に$\alpha \in k^*$に対して、素点ごとに絶対値のlogをとってできるベクトル$(\log |\alpha |_{\mathfrak p} )_{\mathfrak p\in S_\infty}\in \mathbf R^{r+1} $が考えられます。このベクトルは「ノルム=$|N(\alpha )|$ 超平面」に載っています。
ベクトル$(1,1,\dots ,2,2)$に沿って平行移動すると、「ノルム=1 超平面」に載ります。
「ノルム=1 超平面」の基底としてr個のベクトル$ \underline{\log}\varepsilon _{\nu }:= {}^t (\log |\varepsilon _\nu |_{\mathfrak p_1}\ \dots \ \log |\varepsilon _\nu |_{\mathfrak p_{r} })$が取れます（$\nu =1,\dots ,r $）。
パラメータ$(t_{\mathfrak p})_{\mathfrak p \in S_\infty }$のチョイスで決まった写像$\alpha \mapsto \prod _{\mathfrak p\in S_\infty }|\alpha |_{\mathfrak p}^{it_{\mathfrak p} } $は、この超平面上の関数として「見る」と、どうなっているでしょうか。
（問題意識としてwell-definedなのか？ということも含めて。）
問題を正確に定式化すると以下のようになります。
写像$\alpha \mapsto (\log |\alpha |_{\mathfrak p} )_{\mathfrak p\in S_\infty} $や、$\alpha \mapsto \prod _{\mathfrak p} |\alpha |_{\mathfrak p}^{it_{\mathfrak p} }$は、$k^*$よりも大きな空間
\[ \mathbf I_{k,\infty } = \prod _{\mathfrak p\in S_\infty } k_{\mathfrak p} \]
で定義された写像と理解できます。大きくした定義域には$\mathbf R^*$が作用します。この作用は、$\mathbf R^{r+1}$では$(1,1,\dots ,2,2)$に沿った平行移動に対応します。
$\alpha \in \mathbf I_{k,\infty }$は、正の実数倍によって、ノルムが$\pm 1$になるように正規化$\alpha = |N(\alpha )|^{1/n}\cdot \widetilde \alpha $することができます。このとき
\[ \prod _{\mathfrak p\in S_\infty } |\alpha |_{\mathfrak p}^{it_{\mathfrak p} } = |N(\alpha )|^{\frac 1n i \sum _{\mathfrak p\in S_\infty } t_{\mathfrak p} } \cdot \prod _{\mathfrak p\in S_\infty } |\widetilde \alpha |_{\mathfrak p}^{it_{\mathfrak p} } \]
と、ノルム$|N(\alpha )|$に依存する部分と、正規化$\widetilde \alpha = \alpha / |N(\alpha )|^{1/n}$に依存する部分に分けることができます。
（虚素点での指数2の扱いは雑にしてあるので、後日直します。）
$(t_\mathfrak p)_{\mathfrak p\in S}$のチョイスの自由度の中に、各変数を一様に$t\in \mathbf R$だけずらす自由度が含まれているので、もしかすると、ここでその伝家の宝刀を抜いて$\sum _{\mathfrak p\in S_\infty }t_{\mathfrak p} =0$ となるように正規化すると、嬉しいかもしれません。（虚素点にはたぶん係数2が載ります。）
伝家の宝刀は一度しか抜けないので、慎重に考える必要はありますが。
正規化$\widetilde \alpha $は各成分の絶対値のlogを取ると、$\mathbf R^{r+1}$の中のノルム=1 超平面に載ります。上の関数は$|\widetilde \alpha |_{\mathfrak p}$たちにしか依っていないので、ノルム=1 超平面上の関数と見做せます。
$\widetilde \alpha $の、基底$ \underline\log {\varepsilon }_{1 },\dots , \underline\log {\varepsilon }_{r }$に関する座標を$a_1,\dots ,a_r$とでもします。この点での関数の値を$e^{i X}$の形に書きたいです。指数Xは、行列の乗算
\[ X= (t_{\mathfrak p_1 }\ \dots \ t_{\mathfrak p_{r+1} }) \cdot \begin{pmatrix}\log |\varepsilon _1|_{\mathfrak p_1} & \cdots & \log |\varepsilon _r |_{\mathfrak p_1}\\ \vdots && \vdots \\ \log |\varepsilon _1|_{\mathfrak p_{r+1}} &\cdots & \log |\varepsilon _r |_{\mathfrak p_{r+1}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a _1 \\ \vdots \\ a_r\end{pmatrix} \]
により計算できます。$(t_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in S}$のチョイスにより、
\[ = (C_{\widetilde c,1}+T_1, \dots , C_{\widetilde c,r} +T_r ) \begin{pmatrix}a _1 \\ \vdots \\ a_r\end{pmatrix} \]
となります。というわけで、値は
\[ e^{i \sum _{j=1}^r (C_{c,j}+T_j ) a_j } \]
となります。周波数$(C_{\widetilde c,1}+T_1, \dots , C_{\widetilde c,r} +T_r )$の波で、点$(a_1,\dots ,a_r)$での値を見た感じですね。周波数の動きうる範囲は、格子$2\pi \mathbf Z^r$を定数だけ並行移動した形になっています。
なので、$(T_j )_{1\le j \le r}$を動かしまくることで、(ノルム=1 超平面) / $\underline\log O_k^* $上のFourier解析ができます。
有限素点
有限素点は、どう考えればいいんでしょうかね？
イデアル類の管理に一役買っていることは間違いありませんが、筋道立てて書くために、少し考える時間が必要です。
・・・分かってきましたが、既に長い記事になっているので、次の記事としてまとめます。
