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Steenrod 篇:§5. 総冪作用素

これに始まる数記事は、論文「Reduced power operations in motivic cohomology」について書いていきます。これは代数トポロジーの古典論で、Serre, Cartan, Milnor に始まる研究でよく調べられている対象である Steenrod 代数の、モチーフ版理論を築いている論文です。

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 Steenrod 代数の生成元となるのが、Steenrod 冪作用素ないし被約冪作用素 (reduced power operation) と呼ばれるコホモロジー作用素で、題名はそれを指しています。Milnor 予想の解決論文が載った IHES の雑誌では、当該号の冒頭にこの論文が載り、そのすぐ後に Milnor 予想の論文が載っています。その意味で、ふたつの論文は一体のものです。

 

論文の初めの方には、モチーフのホモトピー圏の復習のようなことが書いてあるので、本ブログでは本題である §5 から始めたいと思います。(モチーフのホモトピー圏のことも将来的にはまとめられると嬉しいですが。) 

 

 

 


 

いつも通りXをスキームとします。この項では群のn元集合への作用が与えられている状況で、n乗作用素

\[ H^{2i,i}(X,R)\to H^{2ni,ni}(X,R) \]

を精密化する作用素を説明します。

 

モチベーション実際の構成 定義U について極限をとるこのあとの展開:個冪作用素

 

モチベーション

Gを有限群とし、群準同型 \( G\to S_n \) を固定します(位数nの有限集合 \( \{ 1,\dots ,n \} \) への作用を固定することと同じ)。 コホモロジー

\[ x \in H^{2i,i}(X,R) \]

(Rは係数環)のn乗

\[ x ^n\in H^{2ni,ni}(X,R) \]

にも置換を通じてGが作用しますが、偶数次の元の積は可換なので、作用によってこの元は不変です。よって、これが「XのGによる商」のコホモロジー群から来ていることを期待するのは自然です。(ここで、Xには自明なG作用を入れています。)

ホモトピー論的には、この商は、Xと、Gの分類空間BGの積である

\[ X \times BG \]

です。こうしてコホモロジー

\[  P(x)\in H^{2ni,ni}(X\times BG ,R ) \]

の存在を期待することになります。(作用素Pはデータ \( G\to S_n \) に依存するので、\( P_{G\to S_n} (x) \) と書くと、より親切でしょう。)

 

 群の分類空間BGについては、別の記事で復習しますが、ここでは構成を簡単に思い出しておきましょう。Vを、Gの忠実な作用とし、対応するアフィンスキームを再びVと書きます。\( U_n \) を、\( V^{\oplus n} \) の開集合でGが自由に作用するもののうち最大のものとするとき、BG は \( U_n/G \) のnに関する順極限として定義されるのでした。[Morel-Voevodsky p.133]、[Reduced power p.17]

 

 

実際の構成

さてGを有限群とし、群準同型 \( r\colon G\to S_n \) と、Gが自由に作用するスキームUを固定します。群準同型 \( r \) から、Gはアフィン空間\( \mathbf{A}^n \) に作用します。射影 \( \mathbf{A}^n\times U \to U \) はG同変ですので、射 \( (\mathbf{A}^n\times U)/G \to U/G \) を誘導します。これは階数nのベクトル束で、\( \xi _n \) と書きます。

\[ \xi _n \colon \begin{array}{c} (\mathbf{A}^n\times U)/G \\ \downarrow \\ U/G \end{array} \]

補助的なデータとして、ベクトル束 L と自明化 \( \phi\colon L\oplus \xi _n\cong \mathscr{O}^N_{U/G}  \) をとります。これはUがアフィンなら必ず存在します。

応用を考えている、上記のような \( U_n \) は、アフィンスキームの開集合ではありますが、それ自身アフィンではありません。が、ここではそれは気にせず進むことにしましょう。(詳しい人向け:結論としては、Jouanolou's device \( U'\to U \) で、\( \mathbf{A}^1 \) ホモトピー同値の範囲で U をアフィンスキームに取り替えることになります。)

この状況で、スムーズ \( k \) -スキームXと、コホモロジー類 \( \in H^{2i,i}(X,R) \) を代表するサイクル

\[ \begin{array}{rc} Z\subset & X\times \mathbf{A}^i \\ & \downarrow \\ & X \end{array} \]

でX上有限全射なものをとります。Zの、\( k\) -スキームとしてのn重積を \( Z^{\otimes n} \subset X^n\times \mathbf{A}^{ni} \) で記し、さらにそのUとの積

\[ \begin{array}{rc} Z^{\otimes n}\times U \subset & X^n\times \mathbf{A}^{ni}\times U \\ & \downarrow \\ & X^n\times U \end{array}  \]

をとります。これは \( X^n\times U \) 上、有限全射になっています。このサイクルは \( S_n \) の作用で不変なので、サイクルのガロア降下により、商 \( (X^n\times \mathbf{A}^{ni}\times U)/G \) 上の或るサイクル Z' の引き戻しとなっています。また、そのサイクル Z' は \( (X^n\times U)/G \) 上有限全射です(有限性・全射性もガロア降下をみたすので)。

\[ \begin{array}{rc}Z'\subset & (X^n\times \mathbf{A}^{ni}\times U) /G \\ & \downarrow \\ & (X^n\times U)/G \end{array} \tag{*}  \]

次に、図式 \( (*) \) の対角射 \( X\times (U/G) \hookrightarrow (X^n\times U)/G \) による底変換 \( Z'' \) を考えます。 このとき、図式の垂直方向の射は、ちょうど \( (\xi _n) ^{\oplus i} \) になっています:

\[ \left.  \begin{array}{rc} Z''\subset & X\times (\mathbf{A}^{ni}\times U)/G \\ & \downarrow \\ & X\times (U/G) \end{array}\quad \right\} = \left( \begin{array}{c} X\times  \xi _{n} ^{\oplus i} \\ \downarrow \\ X\times (U/G) \end{array} \right)  \]

構成はまだ続きます。この図式を、射 \( X\times L^i \to X\times (U/G) \) で底変換し、相対サイクル:

\[ \begin{array}{rc}Z'''\subset & X\times (L^i\oplus \xi _n^{\oplus i})  \\ &\downarrow \\ &X\times L^i \end{array} \] が得られます。射影 \( Z'''\to L^i \) を用いて新しい埋め込み \( Z'''\hookrightarrow X\times (L^i\oplus \xi _n^{\oplus i}\oplus L^i) \) を定義し、うしろの2つの直和因子をデータ \( \xi _n^{\oplus ni}\oplus L^{ni}\cong \mathscr{O}^{Ni}_{U/G} \) で書き換えると、図式

\[ \begin{array}{rc}Z'''\subset & X\times L^i \times \mathbf{A}^{Ni}  \\ &\downarrow \\ &X\times L^i \end{array} \] を得ます(積はすべて \( k \) 上でとっています)。構成の最後のステップから、\( X\times (L^i\setminus \{ 0_{U/G} \} ) \) 上へのサイクルの制限は \(X\times L^i \times (\mathbf{A}^{Ni}\setminus \{ 0 \} ) \) に含まれることがわかります。(対偶で、 \( X\times L^i\times \{ 0\}  \) に写る \( Z''' \) の点は必ず \( X\times 0_{U/G} \) に写ることを確認するのが考えやすいです。)とくに、前層の写像

\[ X \times Th_{U/G} (L^i ) \to \frac{R\otimes \mathbf{Z}_{tr}(\mathbf{A}^{Ni} ) \phantom{ \{ 0\} }}{ R\otimes\mathbf{Z}_{tr} (\mathbf{A}^{Ni}\setminus \{ 0 \} ) }  \]

を得ます。(定義域で本当はwedge積を出力すべきところ、mathjaxの不具合により "\( \times \)"で代用しています。) 結果としてコホモロジー

\[ H^{2Ni,Ni}(X\times Th_{U/G}(L^i) ,R ) \cong H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R) \]

 の元を得ます(同型は、Thom同型または (motivic) homotopy purityと呼ばれるものです)。

 

定義:

この一連の構成で得られる写像を \( \tilde{P}=\tilde{P}_{L,\phi } \) と記します:

\[  \tilde{P}\colon H^{2i,i}(X,R)\to H^{2Ni,Ni}(X\times Th_{U/G}(L^i),R  ). \]

Thom同型との合成は補助データ \( L,\phi \) に依らないことが判明し、これをPと記します:

\[ P\colon H^{2i,i}(X,R)\to H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R).  \]

補助データに依らないという事実は [Reduced power; Prop. 5.2] で示していますが、基本的にはThom類とテンソル積の関係を表す公式から従います。Pという記号についてですが、個人的には、nだけでも記号の中に含まれていれば分かりやすいのに、という感想です。

 

はじめの基本性質

U の有理点をひとつ選んで引き戻すと、次の合成を得ますが、

\[  H^{2i,i}(X,R)\xrightarrow{P} H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R ) \to H^{2ni,ni}(X,R) \] これはn乗写像に等しくなります。この事実は上の構成でガロア降下を用いたあたりを点検することで分かります。論文が「被約冪」と題されているゆえんです。

 

また、U の取り替えについての整合性があります。\( U\to V \) を、スキームの G 同変な射とするとき、次の図式が可換です。

\[ \begin{array}{rl} H^{2i,i}(X,R)\xrightarrow{P} & H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R) \\ {}_P \searrow & \uparrow \\ & H^{2ni,ni}(X\times (V/G),R) . \end{array} \] このことは、図式 (*) とその前の図式のあたりを点検すると見て取れると思います。

 

 

U について極限をとる

[Morel-Voevodsky, p.133] の手続きで群 G の分類空間をとります。すなわち、G の忠実な線型表現 \( V\) をとり、その n 個直和 \( V^n \) が定めるアフィン空間を考えます。開集合 \( U_n\subset V^n \) を、G が自由に作用する最大の開集合とし、埋め込み \( U_n\hookrightarrow U_{n+1} \) を直和成分の埋め込み \( V^n\hookrightarrow V^n\oplus V=V^{n+1}\) から誘導されるものとします。作用が自由であることから、商 \( U_n/G \) がスキームとして自然に存在し、順極限 \( \varinjlim _{(n\to \infty )} U_n/G \) が考えられます。これを G の分類空間 BG と呼び、ホモトピー圏の対象としては表現 V の取り方に依らないのでした。

 

 P の基本的な整合性から、写像

\[ P\colon \quad H^{2i,i}(X,R )\to\varprojlim _{(n\to \infty )}H^{2ni,ni}(X\times (U_n/G),R) = H^{2ni,ni}(X\times BG,R) \] が誘導されます。これが冒頭のモチベーションで予告した写像です。 \( l\) が素数で \( G=S_l \) のとき、これを

\[ P_l\colon \quad H^{2i,i}(X,R)\to H^{2il,il}(X\times BS_l ,R)  \] と書くことになっているようです。

 

このあとの展開:個冪作用素

以上のストーリーはのちのち \( G=S_\ell , R=\mathbf{Z}/\ell \mathbf{Z} \) に対して適用されることになります(\( \ell \) は基礎体の標数と異なる素数)。

 §6では分類空間 \( BS_\ell \) の \( \mathbf{Z}/\ell \mathbf{Z}\) 係数コホモロジーが計算され、底空間のコホモロジー環上自由加群になることを示しています。これによりコホモロジー類 \( x\in H^{2d,d}(X,R) \) の像

\[ P(x)\in H^{2\ell d,\ell d}(X\times BS_\ell ,\mathbf{Z}/\ell  )\] (次数を表す変数を i から d に変えました)から直和成分への射影として \( H^{*,*}(X,\mathbf{Z}/\ell ) \) の元をいくつか得ますが、これを個冪作用素と称して写像

\[ \begin{array}{l} P^i\colon H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}/\ell )\to H^{2d+2i(\ell -1), d+i(\ell -1)}(X,\mathbf{Z}/\ell ) \\ B^i\colon H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}/\ell )\to H^{2d+2i(\ell -1)\mathbf{+1}, d+i(\ell -1)}(X,\mathbf{Z}/\ell ) \end{array}  \] で書きます(添字における太字は単に強調のため)。

 

今日はとりあえずここまで。 

 

 

The norm of polynomial maps

This excerpt from https://arxiv.org/abs/1311.6170 summarizes basic facts on the norm of polynomial maps.

Recall that the norm $\Vert \theta \Vert _{R/Z}\in [0,1/2]$ of a real number $\theta $ is the distance from $\theta $ to the closest integer.

Let $g\colon \mathbb Z^t\to \mathbb R$ be a polynomial map. It can be written in the form \[ g(\mathbf n)= \sum _{\mathbf j} g_{\mathbf j} \left( \begin{array}{c}\mathbf n \\  \mathbf j\end{array} \right) \] where $\left( \begin{array}{c}\mathbf n \\  \mathbf j\end{array} \right)$ is the product of binomial coefficients $\left( \begin{array}{c}n_1 \\  j_1\end{array} \right)\cdot \dots \cdot\left( \begin{array}{c}n_t \\  j_t\end{array} \right) $. Given an integer $N\ge 1$, the $C^\infty [N]^t$-norm of $g$ is defined as: \[ \Vert g \Vert _{C^\infty [N]^t } := \max _{\mathbf j } \Bigl\{ N^{|\mathbf j|} \Vert g_{\mathbf j}\Vert _{R/Z} \Bigr\} . \] One could more generally consider integers $N_1,\dots ,N_t $ and the associated norm $C^\infty ([N_1]\times\dots\times [N_t] )$ but in practice we only consider the case $N_1=\dots =N_t $ at least up to bounded factors. (This norm and the one below are defined on p.4.)

Of course one could consider the expansion $g(\mathbf n)= \sum _{\mathbf j} g_{\mathbf j}^* \mathbf n ^{\mathbf j }  $ and consider a variant:\[ \Vert g \Vert _{C_*^\infty [N]^t } := \max _{\mathbf j } \Bigl\{ N^{|\mathbf j|} \Vert g^*_{\mathbf j}\Vert _{R/Z} \Bigr\} . \] These two norms are essentially the same in the following sense (note that we shall often modify a polynomial by its $O(1)$-multiple so the modification $g\leadsto Qg$ is nothing):

Lemma 2.1. Let $g$ be of total degree $d$. Then there is some $Q=O_{d,t}(1)$ such that $\Vert Q g \Vert _{C^\infty _* [N]^t} \ll _{d,t}\Vert g \Vert _{C^\infty  [N]^t}$ and vice versa.

For the proof, observe that the polynomial$\left( \begin{array}{c}\mathbf n \\ \mathbf j \end{array} \right) $ is a $\mathbb Q$-linear combination of $\mathbf n ^{\mathbf k}$'s with degrees $|\mathbf k|\le |\mathbf j|$ and vice versa. This shows that $g^*_{\mathbf j}$ is a $\mathbb Q$-linear combination of $g_{\mathbf k}$'s with $|\mathbf k|\ge |\mathbf j|$ (note the inequality!) and vice versa. Let $Q$ be a common multiple of the coefficients appearing there, which we can take depending only on $t$ and $d$. Then $Qg^*_{\mathbf j}$ is a $\mathbb Z$-linear combination of $g_{\mathbf k}$'s of degree equal or higher with coefficients bounded depending only on $d,t$. Suppose $M=\Vert g \Vert _{C^\infty [N]^t}$. This means $\Vert g_{\mathbf k}\Vert _{R/Z} \le \frac M{N^{|\mathbf k| } }$. We deduce $ \Vert Qg^*_{\mathbf j}Vert _{R/Z} = O( \frac M{N^{|\mathbf j| } } + \frac{M}{N^{|\mathbf j| +1}}+\cdots )$ This completes the proof. ◼️

 Proposition 2.3. (polynomial Vinogradov) Let $g\colon \mathbb Z^t\to \mathbb R$ be a polynomial map such that $\Vert g(\mathbf n)\Vert _{R/Z} \le \varepsilon $ for at least $\delta N^t$ values of $\mathbf n\in [N]^t$, where $\varepsilon < \delta / 10 $. Then there is some $Q\ll \delta ^{-O(1)}$ such that $\Vert Qg \Vert _{C^\infty [N]^t} \ll \delta ^{-O(1)}\varepsilon  $, i.e., we have \[ \Vert Qg_{\mathbf j}\Vert _{R/Z} \ll \frac{\delta ^{-O(1)} \varepsilon}{N^{|\mathbf j|} }  \] for all indices $\mathbf j$.

Note that by the previous lemma a similar result holds for $g^*_{\mathbf j}$ as well. This proposition roughly says "if the value of a polynomial $g$ is often close to integers, then the (especially higher-order) coefficients of $g$ are extremely close to integers."

Proposition 2.3 is a vitally important tool for us and so one should memorize it well!

 

The next assertion says that if you know the behavior of a polynomial map after dilation and translation, you know the polynomial map itself quite well.

Proposition 8.4 (in Quantitative behaviour of polynomial sequences). Let $a_i,b_i\in \mathbb Q$ with $b_i\neq 0$ be such that their deniminators are bounded by $Q$ and the numerators of $b_i$ are also bounded by $Q$. Assume the numerators of $a_i$ are bounded by $QN$.

Let $g\colon \mathbb Z^t \to \mathbb R$ be a polynomial map and consider the polynomial map $\tilde g $ defined by $\mathbf n=(n_1,\dots ,n_t)\mapsto g(a_1+b_1n_1,\dots ,a_t+b_tn_t) $. Then there is an integer $Q'\ll _{d,t} Q^{O_{d,t}(1)}$ such that \[ \Vert Q'\cdot g\Vert _{C^\infty [N]^t} \ll _{d,t} Q^{O_{d,t}(1) } \Vert \tilde g\Vert _{C^\infty [N]^t}  . \] 

In loc. cit. they also assume the numerators of $a_i$ are bounded by $Q$, as opposed to $QN$ in our formulation. So let us check the proof loc. cit. actually shows the current assertion.

If we set $M:=\Vert g\Vert _{C_*^\infty [N]^t}$, we can write $\tilde g (\mathbf m) = \sum _{\mathbf j} \tilde g^*_{\mathbf j} \mathbf m ^{\mathbf j }$ with $\Vert g^*_{\mathbf j }\Vert _{R/Z} \le \frac{M}{N^{|\mathbf j|} }$. Since $g(\mathbf n)= \tilde g (\frac{n_1-a_1}{b_1},\cdots  ) $ we can write \[ g(n_1,\dots ,n_t)= \sum _{\mathbf j} \tilde g^*_{\mathbf j} \left( \frac{n_1-a_1}{b_1}\right) ^{j_1} \cdot \dots \cdot \left( \frac{n_t-a_t}{b_t}\right) ^{j_t} . \] It follows that $g^*_{\mathbf j }$ is a sum of terms of the form $\tilde g^* _{\mathbf k} \frac{\mathbf a ^{\mathbf k - \mathbf j } }{\mathbf b ^{\mathbf k} } $ with $\mathbf k \ge \mathbf j$ entrywise and the number of terms being bounded in terms of $d,t$.

Clear the denominators appearing in such terms by multiplying an integer $\le Q^{O_{d,t}(1) }$. Then we are left with the following, where $\mathrm{num}(-)$ is a temporary notation to denote the numerator of a rational number: \[ \Vert \tilde g^*_{\mathbf k} \mathrm{num}(\mathbf a ^{\mathbf k - \mathbf j } ) \mathrm{num}(\mathbf b^{\mathbf k} ) ) \Vert _{R/Z } \le  \Vert\tilde g^*_{\mathbf k}\Vert _{R/Z} \cdot Q^k N ^{k-j} \le \frac{M}{N^k} Q^kN^{k-j} \] which gives a desired bound for $g^*_{\mathbf j}$. ◼️

 Lastly let us record the quantitative Leibman theorem.

Theorem 8.6. (proof completed in the Erratum) Let $G/\Gamma $ be a nilmanifold of dimension $m $ with a $\frac 1\delta $-rational Malcev basis. If a polynomial map $g\colon \mathbb Z^t \to G$ is not $\delta $-equidistributed on $[N]^t$, then there is a non-trivial horizontal character $\psi $ with $\Vert \psi\Vert \ll \delta ^{-O_{d,m,t}(1) }$ such that \[ \Vert\psi \circ g  \Vert _{C^\infty [N]^t} \ll \delta ^{-O_{d,m,t}(1)}. \]

Note that the converse statement (existence of such a character $\Rightarrow $ non-equidistribution) is somewhat straightforward to prove. One can even draw a picture!