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Steenrod 篇:§5. 総冪作用素

これに始まる数記事は、論文「Reduced power operations in motivic cohomology」について書いていきます。これは代数トポロジーの古典論で、Serre, Cartan, Milnor に始まる研究でよく調べられている対象である Steenrod 代数の、モチーフ版理論を築いている論文です。

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 Steenrod 代数の生成元となるのが、Steenrod 冪作用素ないし被約冪作用素 (reduced power operation) と呼ばれるコホモロジー作用素で、題名はそれを指しています。Milnor 予想の解決論文が載った IHES の雑誌では、当該号の冒頭にこの論文が載り、そのすぐ後に Milnor 予想の論文が載っています。その意味で、ふたつの論文は一体のものです。

 

論文の初めの方には、モチーフのホモトピー圏の復習のようなことが書いてあるので、本ブログでは本題である §5 から始めたいと思います。(モチーフのホモトピー圏のことも将来的にはまとめられると嬉しいですが。) 

 

なお、ブログの投稿日時は、実際に執筆した時とは必ずしも一致しません。

 


 

いつも通りXをスキームとします。この項では群のn元集合への作用が与えられている状況で、n乗作用素

\[ H^{2i,i}(X,R)\to H^{2ni,ni}(X,R) \]

を精密化する作用素を説明します。

 

モチベーション実際の構成 定義U について極限をとるこのあとの展開:個冪作用素

 

モチベーション

Gを有限群とし、群準同型 \( G\to S_n \) を固定します(位数nの有限集合 \( \{ 1,\dots ,n \} \) への作用を固定することと同じ)。 コホモロジー

\[ x \in H^{2i,i}(X,R) \]

(Rは係数環)のn乗

\[ x ^n\in H^{2ni,ni}(X,R) \]

にも置換を通じてGが作用しますが、偶数次の元の積は可換なので、作用によってこの元は不変です。よって、これが「XのGによる商」のコホモロジー群から来ていることを期待するのは自然です。(ここで、Xには自明なG作用を入れています。)

ホモトピー論的には、この商は、Xと、Gの分類空間BGの積である

\[ X \times BG \]

です。こうしてコホモロジー

\[  P(x)\in H^{2ni,ni}(X\times BG ,R ) \]

の存在を期待することになります。(作用素Pはデータ \( G\to S_n \) に依存するので、\( P_{G\to S_n} (x) \) と書くと、より親切でしょう。)

 

 群の分類空間BGについては、別の記事で復習しますが、ここでは構成を簡単に思い出しておきましょう。Vを、Gの忠実な作用とし、対応するアフィンスキームを再びVと書きます。\( U_n \) を、\( V^{\oplus n} \) の開集合でGが自由に作用するもののうち最大のものとするとき、BG は \( U_n/G \) のnに関する順極限として定義されるのでした。[Morel-Voevodsky p.133]、[Reduced power p.17]

 

 

実際の構成

さてGを有限群とし、群準同型 \( r\colon G\to S_n \) と、Gが自由に作用するスキームUを固定します。群準同型 \( r \) から、Gはアフィン空間\( \mathbf{A}^n \) に作用します。射影 \( \mathbf{A}^n\times U \to U \) はG同変ですので、射 \( (\mathbf{A}^n\times U)/G \to U/G \) を誘導します。これは階数nのベクトル束で、\( \xi _n \) と書きます。

\[ \xi _n \colon \begin{array}{c} (\mathbf{A}^n\times U)/G \\ \downarrow \\ U/G \end{array} \]

補助的なデータとして、ベクトル束 L と自明化 \( \phi\colon L\oplus \xi _n\cong \mathscr{O}^N_{U/G}  \) をとります。これはUがアフィンなら必ず存在します。

応用を考えている、上記のような \( U_n \) は、アフィンスキームの開集合ではありますが、それ自身アフィンではありません。が、ここではそれは気にせず進むことにしましょう。(詳しい人向け:結論としては、Jouanolou's device \( U'\to U \) で、\( \mathbf{A}^1 \) ホモトピー同値の範囲で U をアフィンスキームに取り替えることになります。)

この状況で、スムーズ \( k \) -スキームXと、コホモロジー類 \( \in H^{2i,i}(X,R) \) を代表するサイクル

\[ \begin{array}{rc} Z\subset & X\times \mathbf{A}^i \\ & \downarrow \\ & X \end{array} \]

でX上有限全射なものをとります。Zの、\( k\) -スキームとしてのn重積を \( Z^{\otimes n} \subset X^n\times \mathbf{A}^{ni} \) で記し、さらにそのUとの積

\[ \begin{array}{rc} Z^{\otimes n}\times U \subset & X^n\times \mathbf{A}^{ni}\times U \\ & \downarrow \\ & X^n\times U \end{array}  \]

をとります。これは \( X^n\times U \) 上、有限全射になっています。このサイクルは \( S_n \) の作用で不変なので、サイクルのガロア降下により、商 \( (X^n\times \mathbf{A}^{ni}\times U)/G \) 上の或るサイクル Z' の引き戻しとなっています。また、そのサイクル Z' は \( (X^n\times U)/G \) 上有限全射です(有限性・全射性もガロア降下をみたすので)。

\[ \begin{array}{rc}Z'\subset & (X^n\times \mathbf{A}^{ni}\times U) /G \\ & \downarrow \\ & (X^n\times U)/G \end{array} \tag{*}  \]

次に、図式 \( (*) \) の対角射 \( X\times (U/G) \hookrightarrow (X^n\times U)/G \) による底変換 \( Z'' \) を考えます。 このとき、図式の垂直方向の射は、ちょうど \( (\xi _n) ^{\oplus i} \) になっています:

\[ \left.  \begin{array}{rc} Z''\subset & X\times (\mathbf{A}^{ni}\times U)/G \\ & \downarrow \\ & X\times (U/G) \end{array}\quad \right\} = \left( \begin{array}{c} X\times  \xi _{n} ^{\oplus i} \\ \downarrow \\ X\times (U/G) \end{array} \right)  \]

構成はまだ続きます。この図式を、射 \( X\times L^i \to X\times (U/G) \) で底変換し、相対サイクル:

\[ \begin{array}{rc}Z'''\subset & X\times (L^i\oplus \xi _n^{\oplus i})  \\ &\downarrow \\ &X\times L^i \end{array} \] が得られます。射影 \( Z'''\to L^i \) を用いて新しい埋め込み \( Z'''\hookrightarrow X\times (L^i\oplus \xi _n^{\oplus i}\oplus L^i) \) を定義し、うしろの2つの直和因子をデータ \( \xi _n^{\oplus ni}\oplus L^{ni}\cong \mathscr{O}^{Ni}_{U/G} \) で書き換えると、図式

\[ \begin{array}{rc}Z'''\subset & X\times L^i \times \mathbf{A}^{Ni}  \\ &\downarrow \\ &X\times L^i \end{array} \] を得ます(積はすべて \( k \) 上でとっています)。構成の最後のステップから、\( X\times (L^i\setminus \{ 0_{U/G} \} ) \) 上へのサイクルの制限は \(X\times L^i \times (\mathbf{A}^{Ni}\setminus \{ 0 \} ) \) に含まれることがわかります。(対偶で、 \( X\times L^i\times \{ 0\}  \) に写る \( Z''' \) の点は必ず \( X\times 0_{U/G} \) に写ることを確認するのが考えやすいです。)とくに、前層の写像

\[ X \times Th_{U/G} (L^i ) \to \frac{R\otimes \mathbf{Z}_{tr}(\mathbf{A}^{Ni} ) \phantom{ \{ 0\} }}{ R\otimes\mathbf{Z}_{tr} (\mathbf{A}^{Ni}\setminus \{ 0 \} ) }  \]

を得ます。(定義域で本当はwedge積を出力すべきところ、mathjaxの不具合により "\( \times \)"で代用しています。) 結果としてコホモロジー

\[ H^{2Ni,Ni}(X\times Th_{U/G}(L^i) ,R ) \cong H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R) \]

 の元を得ます(同型は、Thom同型または (motivic) homotopy purityと呼ばれるものです)。

 

定義:

この一連の構成で得られる写像を \( \tilde{P}=\tilde{P}_{L,\phi } \) と記します:

\[  \tilde{P}\colon H^{2i,i}(X,R)\to H^{2Ni,Ni}(X\times Th_{U/G}(L^i),R  ). \]

Thom同型との合成は補助データ \( L,\phi \) に依らないことが判明し、これをPと記します:

\[ P\colon H^{2i,i}(X,R)\to H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R).  \]

補助データに依らないという事実は [Reduced power; Prop. 5.2] で示していますが、基本的にはThom類とテンソル積の関係を表す公式から従います。Pという記号についてですが、個人的には、nだけでも記号の中に含まれていれば分かりやすいのに、という感想です。

 

はじめの基本性質

U の有理点をひとつ選んで引き戻すと、次の合成を得ますが、

\[  H^{2i,i}(X,R)\xrightarrow{P} H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R ) \to H^{2ni,ni}(X,R) \] これはn乗写像に等しくなります。この事実は上の構成でガロア降下を用いたあたりを点検することで分かります。論文が「被約冪」と題されているゆえんです。

 

また、U の取り替えについての整合性があります。\( U\to V \) を、スキームの G 同変な射とするとき、次の図式が可換です。

\[ \begin{array}{rl} H^{2i,i}(X,R)\xrightarrow{P} & H^{2ni,ni}(X\times (U/G),R) \\ {}_P \searrow & \uparrow \\ & H^{2ni,ni}(X\times (V/G),R) . \end{array} \] このことは、図式 (*) とその前の図式のあたりを点検すると見て取れると思います。

 

 

U について極限をとる

[Morel-Voevodsky, p.133] の手続きで群 G の分類空間をとります。すなわち、G の忠実な線型表現 \( V\) をとり、その n 個直和 \( V^n \) が定めるアフィン空間を考えます。開集合 \( U_n\subset V^n \) を、G が自由に作用する最大の開集合とし、埋め込み \( U_n\hookrightarrow U_{n+1} \) を直和成分の埋め込み \( V^n\hookrightarrow V^n\oplus V=V^{n+1}\) から誘導されるものとします。作用が自由であることから、商 \( U_n/G \) がスキームとして自然に存在し、順極限 \( \varinjlim _{(n\to \infty )} U_n/G \) が考えられます。これを G の分類空間 BG と呼び、ホモトピー圏の対象としては表現 V の取り方に依らないのでした。

 

 P の基本的な整合性から、写像

\[ P\colon \quad H^{2i,i}(X,R )\to\varprojlim _{(n\to \infty )}H^{2ni,ni}(X\times (U_n/G),R) = H^{2ni,ni}(X\times BG,R) \] が誘導されます。これが冒頭のモチベーションで予告した写像です。 \( l\) が素数で \( G=S_l \) のとき、これを

\[ P_l\colon \quad H^{2i,i}(X,R)\to H^{2il,il}(X\times BS_l ,R)  \] と書くことになっているようです。

 

このあとの展開:個冪作用素

以上のストーリーはのちのち \( G=S_\ell , R=\mathbf{Z}/\ell \mathbf{Z} \) に対して適用されることになります(\( \ell \) は基礎体の標数と異なる素数)。

 §6では分類空間 \( BS_\ell \) の \( \mathbf{Z}/\ell \mathbf{Z}\) 係数コホモロジーが計算され、底空間のコホモロジー環上自由加群になることを示しています。これによりコホモロジー類 \( x\in H^{2d,d}(X,R) \) の像

\[ P(x)\in H^{2\ell d,\ell d}(X\times BS_\ell ,\mathbf{Z}/\ell  )\] (次数を表す変数を i から d に変えました)から直和成分への射影として \( H^{*,*}(X,\mathbf{Z}/\ell ) \) の元をいくつか得ますが、これを個冪作用素と称して写像

\[ \begin{array}{l} P^i\colon H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}/\ell )\to H^{2d+2i(\ell -1), d+i(\ell -1)}(X,\mathbf{Z}/\ell ) \\ B^i\colon H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}/\ell )\to H^{2d+2i(\ell -1)\mathbf{+1}, d+i(\ell -1)}(X,\mathbf{Z}/\ell ) \end{array}  \] で書きます(添字における太字は単に強調のため)。

 

今日はとりあえずここまで。 

 

 

Brauer 持ち上げ

まず$\mathbb C$係数の話を少し思い出します。

$G$が有限群で, 有限次元$\mathbb C$ベクトル空間$V$に作用しているとき、その指標と呼ばれる関数 \[
\chi _V\colon \quad  G/(\mbox{conj})\to \mathbb C; \quad g \mapsto \mathrm{tr}(g\colon V\to V)
\] がありました。共役な元のトレースは一致するので、$G$は共役で割って、共役類の集合を考えています。与えられた表現から指標を得る対応は、次の意味で加法的です。$0\to V'\to V\to V''\to 0$が表現どうしの完全列のとき、\[
\chi _V = \chi _{V'} + \chi _{V''} .
\] なので表現たちのなすGrothendieck群から関数のなすアーベル群に群準同型があります。\[
R(\mathbb C [G]) \xrightarrow{\cong } \mathrm{Map} (G/(\mbox{conj}),\mathbb C) 
\] $\mathbb C$が標数0の代数閉体なので、これはアーベル群の同型になるのでした。この同型を利用すると、関数$G/(\mbox{conj})\to \mathbb C$を与えることによって$G$の表現(の形式和)が得られることになります。

さて今、有限体の代数閉包$\overline{\mathbb F}_p$係数の$G$の表現$E$が与えられたとします。これをsystematicに$\mathbb C$係数の表現に持ち上げる方法があります。そのために一つだけデータを固定します。すなわち \[
\iota \colon \overline{\mathbb F}_p^* \hookrightarrow \mathbb C^*
\] を乗法的な群どうしの単射準同型とします。念のためですが、このような ι は存在します。有限体$\mathbb F _q$の乗法群は巡回群$\mathbb Z/ (q-1)\mathbb Z$に同型なので、$q-1$乗根$\zeta _{q-1}\in \mathbb C$を決めることで$\mathbb F_q^* \hookrightarrow \mathbb C^*$が決められます。これをあらゆる$p$の冪$q$に対して整合的にとる(必要ならば選択公理を使う)ことで、上のような ι を見つけられます。ちなみに$\mathbb C$の代わりに標数0の他の代数閉体$\Omega $が使いたい人は、$\Omega $の中に1の冪根をとって、埋め込み$\iota \colon \overline\mathbb{F}_p \hookrightarrow \Omega $を構成すれば以下の話は同じように進みます。

与えられている$G$の表現$E$に対して、次のような関数$\chi _E\colon G/(\mbox{conj}) \to \mathbb C$を考えます。元$g\in G$の作用$g\colon E\to E$の固有値を重複をこめて$\lambda _1,\dots ,\lambda _n\in \overline{\mathbb F}_p$とするとき、\[
\chi _E(g) := \sum _i \iota (\lambda _i)  \in \mathbb C.
\] 和を$\mathbb C$の中で取っているのがミソです。$g$と共役な元に対して、その固有値の集合は重複度をこめて変わらないので、関数$\chi _E $は実際に$G/(\mbox{conj})$上でwell-definedになっています。

こうして$\mathrm{Map}(G/(conj) , \mathbb C)$の元を得たので、上の全単射により$R(\mathbb C[G])$の元、つまり$\mathbb C$係数の表現の形式和を得ます。この対応をBrauer持ち上げと言います。

Serreの本「有限群の線型表現」の後ろの方では、これと結局同値だが一見異なる持ち上げ方が紹介されています。あそこでは確か、Wittベクトルの環$W(\overline{\mathbb F} _p)$を考えます。(これはご存知の通り$\mathbb Z_{(p)}$の強ヘンゼル化の完備化です。)$G$の$W(\overline{\mathbb F}_p)$係数の表現のうち、$W(\overline{\mathbb F}_p)[G]$-加群として射影的であるもののみを考えてGrothendieck群$R(W(\overline{\mathbb F}_p)[G])$を考えます。環の準同型たち \[
\widehat{\mathbb Q_p^{ur} }  \leftarrow W(\overline{\mathbb F}_p) \to \overline{\mathbb F}_p
\] から誘導されるGrothendieck群の写像 \[
R(\widehat{\mathbb Q_p^{ur} }[G]) \xleftarrow{\cong} R(W(\overline{\mathbb F}_p)[G]) \xrightarrow{\cong } R(\overline{\mathbb F}_p [G])
\] がいずれも同型であることが判明します。最後に選択公理によって埋め込み$\widehat{\mathbb Q_p^{ur} }\hookrightarrow \mathbb C$を取れば、合成により写像$R(\overline{\mathbb F}_p[G]) \to R(\mathbb C[G])$を得ます。

Quillenによる有限体のK群の計算では、次の具体例のみが重要です。有限体$k$をとり、それに1の$\ell $乗根を添加した体$k(\mu _l )$を考えます。群$G:= k(\mu _l)^*$を考えます。この群は巡回群です。次のような$k$上の表現を考えます: 

$k$ベクトル空間$E:= k(\mu _l)$に、$G:=k(\mu _l)^*$の元をスカラー倍で作用させる.

これの$\overline k$-表現としてのBrauer持ち上げがK群の計算に使われます(!)。Brauer持ち上げの明示的な表示も必要なので、考えましょう。元$z\in k(\mu _l)^*$による$z$倍写像$k(\mu_l)\to k(\mu_l) $の、$k$線形写像としての固有値$\in \overline{k}$を知ればBrauer持ち上げが計算できます。固有値は$\overline{k}$に係数拡大してから計算すればよいです。

元の個数を明示して$k=\mathbb F_q$とし、$k(\mu _l)/k $は$r$次拡大であるとします。この拡大は必ずガロアで、ガロア群は \[
\{ \mathrm{id}, q , q^2, \dots , q^{r-1} \}
\] なのでした。ここで$q^i $は$q^i$乗写像を表します。(拡大次数$r$は、$q^r$乗写像が$\mu _l$で恒等写像になる、つまり$q^r\equiv 1 \pmod l $となる初めの数なのでした。) このときやや進んだガロア理論の知識により、環同型 \[
k(\mu _l)\otimes _k \overline k \xrightarrow{\cong } (\overline{ k}) ^r;\quad
z\otimes w \mapsto (zw , z^qw ,\dots ,z^{q^{r-1}} w )
\] があります。一般にガロア拡大$L/k$と$L$の拡大体$\overline{L}$があるとき$L\otimes _k \overline{L} \xrightarrow{\cong }(\overline{L})^r$で、$L$成分はそれぞれの$\overline{L}$にガロア群の異なる元の作用で写っていきます。その具体例となっています。よって、$k(\mu _l)$上の$z\in k(\mu_l)^*$倍写像は、係数拡大して$(\overline{k})^r$への作用と思うと\[
(z,z^q,\dots ,z^{q^{r-1}}) \mbox{倍写像}
\] に見えます。したがって固有値の集合は見れば分かる通り, \[
\{ z,z^q,\dots ,z^{q^{r-1}}  \} 
\] となります。これを$\iota \colon \overline{k}\hookrightarrow \mathbb C$で送って足せばよいです。