前の記事で、Hecke指標の構成法を云々しながら気づきましたが、結局のところ私は、知らないうちにイデール群の商を計算しようとしていたのです。そして、この商はエキゾチックなものなどではなく、昔ながらの仲間たちの同窓会のような群なのです。このことを…

とうとう逃れられなくなってきたので、仕方なくHecke指標と、それにより定まるL関数の勉強をきちんとすることにしました。 文献, 指標とは, イデール群, Hecke指標とは, 局所成分の決め方の自由度, パラメータtのはたらき 文献 John Tateの博士論文がCassels…

I am being forced to read Mitsui's paper. https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/26/0/26_0_1/_pdf Mitsui's prime number theorem The main theorem of this paper says, in a simpified form, the following. To state it, let $K$ be a number…

We are following the Tao-Teräväinen paper: https://arxiv.org/abs/2107.02158 . Tao's blog post about the above paper might also help: https://terrytao.wordpress.com/2021/07/05/ Table of Contents Motivation Seminar Program - Part I; I-1, I-2…

Dirichlet L関数に対する一般化リーマン予想 (GRH) の主張を、正確に理解することが目標です。 Iwaniec-Kowalski の本「Analytic Number Theory」を参照しながらまとめます。 L関数は、理論の深化とともに、Dirichlet L関数を含む形で拡張されてきているわけ…

三井孝美の論文 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/26/0/26_0_1/_pdf や本 https://www.iwanami.co.jp/book/b265375.html に、イデアル数なる怪しい概念が出てきます。それの現代的な定式化をします。 三井が使っているイデアル数の概念はナゾな…

Go back to the program https://motivichomotopy.hatenablog.jp/entry/2020/10/19/171757 Green's page about the videos http://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/videos.html Lecture 1 http://www.youtube.com/watch?v=HM3jR0b4VHY 1:18:00 Explains the v…

Quantitative Leibman theorem states that if a polynomial sequence $g\colon [N]\to G $ fails to be δ-equidistributed, then there is a horizontal character $\psi \colon G/\Gamma \to \mathbb R/\mathbb Z $ of size $\ll \delta ^{-O(1)} $ such t…

This excerpt from https://arxiv.org/abs/1311.6170 summarizes basic facts on the norm of polynomial maps. Recall that the norm $\Vert \theta \Vert _{R/Z}\in [0,1/2]$ of a real number $\theta $ is the distance from $\theta $ to the closest i…

https://dx.doi.org/10.4007/annals.2012.175.2.3 のp.549を読んでいます。 個数$\gg \delta ^{O(c_1)} K$個以上の$k\in (K,2K] $に対して不等式 \[ \mathbb E _{w, N^{0.9}<kw\le N } 1_{P}(kw) F(g(kw) ) \gg \delta ^{O(c_1)} \] が成り立つ状況を考えています。$P\subset [N]$は等差数列です。$c_1>0$は定理2.1の$c>0$に対応する、あとで決める小さな正の数です。 初めから$kw\in P$</kw\le>…

Harpaz-Skorobogatov-Wittenberg論文の定理3.1を勉強しています。 定理 $K$を数体とし$X$を幾何的に整なスムーズ多様体とする。$\pi \colon X\to \mathbb P^1$をスムーズ射で、ファイバーに関する条件(a) (b)をみたすものとする（条件は論文を参照）。このと…

Colliot-Thelene と Skorobogatov のBrauer群の本から引用しています。 $X$を数体$k$上の正則な有限型スキームとし、整数環上の有限型なモデル$\mathcal X$を取っておきます。$\alpha \in Br (k(X) )$と、ある素点$v$に関して点$x\in \mathcal X(O_v)$を考え…

曲線の場合 $V_1\to V$を正規化とします。$V_1$にはWeilの定理が適用できて \[ |V_1(\mathbf F_q) -(q+1) | \le 2g q^{1/2} \] (だそう) です。$V_1$の種数$g$は$\le (d-1)(d-2)/2$と評価できます（だそうです；Riemann-Rochとかから出るのでしょう）。そこ…

表題はもちろん、Lang-Weilの有名論文「Number of Points ...」の定理1のことです。Tao氏によるよくまとまった記事があるので、それを読んでいただいても良いと思います。 主張を（現代の用語で）述べます。$V$を有限体$\mathbf F_q $上の幾何的に整な$r$次…

Let $K$ be a number field. For a non-zero ideal $\mathfrak a$, write $t(\mathfrak a)$ for the number of its divisors (in the multiplicative monoid of non-zero ideals). It's called the divisor function. I wanted to type tau but as always ha…

In the previous post we estimated the first term on the right hand side of: \[ \mathbb E_{N^{0.9} < n \le N }\mu (n)\bar f(n) = - \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b\le U,c\le V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) + \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b> U,c> V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) . \]…</n\le>

In this post I will perform a routine task of verifying something routine. Let $U,V,N$ be positive integers satisfying $UV < N^{0.9}$. The exponent here can be replaced by any positive number $<1$ but I don't want to complicate the notatio…

In a paper on rational points on varieties, they exploit the Green-Tao-Ziegler theorem. One way to state the theorem is as follows. Let $L_i(x,y)\in \mathbb Z [x,y]$ (i=1, ..., r) be finitely many homogeneous polynomials of degree 1 and as…

数列の均等分布の理論が説明されていて面白そうです。 第1章は、証明を付けて欲しいところなのに演習問題とされているものが少々多すぎますね。 Exercise 1.1.16 Single-scale均等分布を仮定するとasymptotic均等分布が出るのは割と自明です。 逆を示すには…

学部時代（2000's）に教わったC言語とGNU plotのスキルのみで、このAI時代の荒波に立ち向かおうと奮闘しているわけですが、、、 C言語による計算 C言語はmacのパソコンなら開封した瞬間から使えるようです。C言語の基礎的なことはオンラインでも学べます。例…

Each lecture hopefully requires only 1 hour. Part 1: Introduction - 3 lectures - [L] Part 2: Generalities of Nilsequences - 2 or 3 lectures - [Q] Part 3: Equidistribution - 2 lectures - [Book] and [P] Part 4: MN(s) - 1 lecture - [M] Part 5…

Gowersノルムは、整数$s\ge 0$を固定するごとに与えられます。有限アーベル群$Z$上の関数$f\colon Z\to \mathbb C$に対して定義されます。$\Vert f \Vert _{U^{s+1} (Z) }$は次の値の$2^{s+1}$乗根です：\[ \Vert f \Vert _{U^{s+1}(Z)} ^{2^{s+1} }:= \math…

Baker-Campbell-Hausdorffの定理というものがあります (Wikipedia)。$G$をリー群、$\mathfrak g$をそのリー環、$X\mapsto e^X$をその指数関数とするとき、$X,Y\in \mathfrak g$が十分原点に近い範囲で、\[ e^X e^Y =e^Z \text{ と書く時, }Z= X+Y+\frac 1 2 …

線型方程式に関する勉強をしています。 この記事では、冪零列 (nilsequence) の概念を考えたいと思います。この概念は、リンク先の論文の §8 で説明されています。Green氏による2014年の連続講義がYouTubeのIHESのチャンネルに上がっているので、勉強になる…