[1905.08229] Prisms and Prismatic Cohomology なんかプリズムの勉強をし始めたいので、大まかな概要をメモしていきたいと思います。 Nicola Mazzari - prismaticMIPD 上のセミナーのプログラムを参考に読み進めています。 pは固定された素数です。 定義 (D…

The Quantitative Leibman Theorem, due to Green-Tao, is the follwoing statement: Quantitative Leibman Theorem. $G/\Gamma$ an m-dimensional nilmanifold of degree $\le d$ equipped with a $1/\delta$-rational Malcev basis. $g\colon \mathbb Z \t…

主に本の 1.2 節前半を読んでいきます。 Weil 層 まず Weil 層という概念を思い出します。$\kappa = \mathbf F_q$ 上のスキーム $X_0$ に $\overline{\mathbf Q}_l$ 層が与えられたとき、その $X=X_0\times _{\kappa } k$ への引き戻しは $Gal (k/\kappa ) \…

See Terence Tao's blog for the usual ones and how to derive them from Prime Number Theorem https://terrytao.wordpress.com/2013/12/11/mertens-theorems/ I was particularly interested in the so-called third Mertens theorem, where $\gamma $ is…

https://arxiv.org/abs/2107.02158 Recall that one of the goals of this paper is to compute the sum \[ \sum _{n\in \Omega \cap \mathbf Z ^m} \prod _{i=1}^t \Lambda (\psi _i (n) ) \] where $\Omega \subset \mathbf R^m $ is a bounded convex set…

ここから先の記事では、連続コホモロジーが、あるサイト上のコホモロジーとして書ける、という所までを理解していきたいと思います。集合論的な、サイズの問題は一旦無視します。 練乳集合 (condensed sets) の概念を学ぶには、事前にグロタンディーク位相（…

condensed mathematics 練乳状の数学

前の記事で、Hecke指標の構成法を云々しながら気づきましたが、結局のところ私は、知らないうちにイデール群の商を計算しようとしていたのです。そして、この商はエキゾチックなものなどではなく、昔ながらの仲間たちの同窓会のような群なのです。このことを…

とうとう逃れられなくなってきたので、仕方なくHecke指標と、それにより定まるL関数の勉強をきちんとすることにしました。 文献, 指標とは, イデール群, Hecke指標とは, 局所成分の決め方の自由度, パラメータtのはたらき 文献 John Tateの博士論文がCassels…

個人的に困って調べた結果をメモするための記事です。 https://mathlandscape.com/category/latex/ これは便利そうなブログへのリンク。 本文中の定理番号を使う 目次のスペーシングをいじる 恥ずかしいコメントを一挙に削除 bibtexのフォーマット VS code …

今日は、本の20-25ページにある、層の重みをL関数の収束半径で特徴づける話を勉強したいです。 いつもどおり、$X_0$ を有限体 $\kappa $ 上の有限型スキームとし、$\mathscr G_0$ を $X_0$ 上のWeil層とします。（つまり $\mathscr G_0$ は $X=X_0\otimes _\…

本の第1章第2節前半を読んでいます。 次の主張が、重みの半連続性の技術的な肝のように思われます。 補題 $X_0$ を $\kappa $ 上の非特異既約曲線とする。$j_0\colon U_0\hookrightarrow X_0$ を（全体ではない）稠密開集合とする。 $\mathscr F_0$ を $U_0$…

Reinhardt Kiehl, Rainer Weissauer 著 Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l'adic Fourier Transform https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-04576-3 という本があることを知ったので、これを勉強してみます。もっと有名な Freitag-Kiehl …

I am being forced to read Mitsui's paper. https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/26/0/26_0_1/_pdf Mitsui's prime number theorem The main theorem of this paper says, in a simpified form, the following. To state it, let $K$ be a number…

We are following the Tao-Teräväinen paper: https://arxiv.org/abs/2107.02158 . Tao's blog post about the above paper might also help: https://terrytao.wordpress.com/2021/07/05/ Table of Contents Motivation Seminar Program - Part I; I-1, I-2…

Dirichlet L関数に対する一般化リーマン予想 (GRH) の主張を、正確に理解することが目標です。 Iwaniec-Kowalski の本「Analytic Number Theory」を参照しながらまとめます。 L関数は、理論の深化とともに、Dirichlet L関数を含む形で拡張されてきているわけ…

PDFファイルのサイズを落とす方法です。 ネットで検索すると、無料のアプリケーションやオンラインサービスでPDFのサイズを落としてくれるものが沢山ヒットします。ですが、文書の性格によっては、得体の知れないサービスに内容を読み込ませたくないですよね…

三井孝美の論文 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/26/0/26_0_1/_pdf や本 https://www.iwanami.co.jp/book/b265375.html に、イデアル数なる怪しい概念が出てきます。それの現代的な定式化をします。 三井が使っているイデアル数の概念はナゾな…

Go back to the program https://motivichomotopy.hatenablog.jp/entry/2020/10/19/171757 Green's page about the videos http://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/videos.html Lecture 1 http://www.youtube.com/watch?v=HM3jR0b4VHY 1:18:00 Explains the v…

Quantitative Leibman theorem states that if a polynomial sequence $g\colon [N]\to G $ fails to be δ-equidistributed, then there is a horizontal character $\psi \colon G/\Gamma \to \mathbb R/\mathbb Z $ of size $\ll \delta ^{-O(1)} $ such t…

This excerpt from https://arxiv.org/abs/1311.6170 summarizes basic facts on the norm of polynomial maps. Recall that the norm $\Vert \theta \Vert _{R/Z}\in [0,1/2]$ of a real number $\theta $ is the distance from $\theta $ to the closest i…

https://dx.doi.org/10.4007/annals.2012.175.2.3 のp.549を読んでいます。 個数$\gg \delta ^{O(c_1)} K$個以上の$k\in (K,2K] $に対して不等式 \[ \mathbb E _{w, N^{0.9}<kw\le N } 1_{P}(kw) F(g(kw) ) \gg \delta ^{O(c_1)} \] が成り立つ状況を考えています。$P\subset [N]$は等差数列です。$c_1>0$は定理2.1の$c>0$に対応する、あとで決める小さな正の数です。 初めから$kw\in P$</kw\le>…

Aを環とします。左A加群の圏をA-Modと記すことにします。U: A-Mod $\to $ Ab を忘却関手とします。このとき、環Aが何であったか忘れても、圏としてのA-Modと関手Uから環Aを思い出すことができます。 ずばり、関手Uから関手Uへの自然変換の集合としてです：$A…

Harpaz-Skorobogatov-Wittenberg論文の定理3.1を勉強しています。 定理 $K$を数体とし$X$を幾何的に整なスムーズ多様体とする。$\pi \colon X\to \mathbb P^1$をスムーズ射で、ファイバーに関する条件(a) (b)をみたすものとする（条件は論文を参照）。このと…

Colliot-Thelene と Skorobogatov のBrauer群の本から引用しています。 $X$を数体$k$上の正則な有限型スキームとし、整数環上の有限型なモデル$\mathcal X$を取っておきます。$\alpha \in Br (k(X) )$と、ある素点$v$に関して点$x\in \mathcal X(O_v)$を考え…

曲線の場合 $V_1\to V$を正規化とします。$V_1$にはWeilの定理が適用できて \[ |V_1(\mathbf F_q) -(q+1) | \le 2g q^{1/2} \] (だそう) です。$V_1$の種数$g$は$\le (d-1)(d-2)/2$と評価できます（だそうです；Riemann-Rochとかから出るのでしょう）。そこ…

表題はもちろん、Lang-Weilの有名論文「Number of Points ...」の定理1のことです。Tao氏によるよくまとまった記事があるので、それを読んでいただいても良いと思います。 主張を（現代の用語で）述べます。$V$を有限体$\mathbf F_q $上の幾何的に整な$r$次…

Let $K$ be a number field. For a non-zero ideal $\mathfrak a$, write $t(\mathfrak a)$ for the number of its divisors (in the multiplicative monoid of non-zero ideals). It's called the divisor function. I wanted to type tau but as always ha…

In the previous post we estimated the first term on the right hand side of: \[ \mathbb E_{N^{0.9} < n \le N }\mu (n)\bar f(n) = - \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b\le U,c\le V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) + \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b> U,c> V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) . \]…</n\le>

In this post I will perform a routine task of verifying something routine. Let $U,V,N$ be positive integers satisfying $UV < N^{0.9}$. The exponent here can be replaced by any positive number $<1$ but I don't want to complicate the notatio…