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PDFファイルのサイズを落とす(Mac)

PDFファイルのサイズを落とす方法です。 ネットで検索すると無料のアプリケーションやオンラインサービスでPDFのサイズを落としてくれるものが沢山ヒットしますが、文書の性格によっては、得体の知れないサービスに内容を読み込ませたくないですよね(パスポ…

三井の論文に出てくるイデアル数

三井孝美の論文 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/26/0/26_0_1/_pdf や本 https://www.iwanami.co.jp/book/b265375.html に、イデアル数なる怪しい概念が出てきます。それの現代的な定式化をします。 三井が使っているイデアル数の概念はナゾな…

Ben Green's lectures on nilsequences

Go back to the program https://motivichomotopy.hatenablog.jp/entry/2020/10/19/171757 Green's page about the videos http://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/videos.html Lecture 1 http://www.youtube.com/watch?v=HM3jR0b4VHY 1:18:00 Explains the v…

Horizontal character and bump function

Quantitative Leibman theorem states that if a polynomial sequence $g\colon [N]\to G $ fails to be δ-equidistributed, then there is a horizontal character $\psi \colon G/\Gamma \to \mathbb R/\mathbb Z $ of size $\ll \delta ^{-O(1)} $ such t…

The norm of polynomial maps

This excerpt from https://arxiv.org/abs/1311.6170 summarizes basic facts on the norm of polynomial maps. Recall that the norm $\Vert \theta \Vert _{R/Z}\in [0,1/2]$ of a real number $\theta $ is the distance from $\theta $ to the closest i…

メビウス論文 Type I case の証明の検討

https://dx.doi.org/10.4007/annals.2012.175.2.3 のp.549を読んでいます。 個数$\gg \delta ^{O(c_1)} K$個以上の$k\in (K,2K] $に対して不等式 \[ \mathbb E _{w, N^{0.9}<kw\le N } 1_{P}(kw) F(g(kw) ) \gg \delta ^{O(c_1)} \] が成り立つ状況を考えています。$P\subset [N]$は等差数列です。$c_1>0$は定理2.1の$c>0$に対応する、あとで決める小さな正の数です。 初めから$kw\in P$</kw\le>…

係数環を、加群の圏から復元する

Aを環とします。左A加群の圏をA-Modと記すことにします。U: A-Mod $\to $ Ab を忘却関手とします。このとき、環Aが何であったか忘れても、圏としてのA-Modと関手Uから環Aを思い出すことができます。 ずばり、関手Uから関手Uへの自然変換の集合としてです:$A…

定理3.1の証明を解読しています。

Harpaz-Skorobogatov-Wittenberg論文の定理3.1を勉強しています。 定理 $K$を数体とし$X$を幾何的に整なスムーズ多様体とする。$\pi \colon X\to \mathbb P^1$をスムーズ射で、ファイバーに関する条件(a) (b)をみたすものとする(条件は論文を参照)。このと…

Harari の formal lemma

Colliot-Thelene と Skorobogatov のBrauer群の本から引用しています。 $X$を数体$k$上の正則な有限型スキームとし、整数環上の有限型なモデル$\mathcal X$を取っておきます。$\alpha \in Br (k(X) )$と、ある素点$v$に関して点$x\in \mathcal X(O_v)$を考え…

前の記事への補足

曲線の場合 $V_1\to V$を正規化とします。$V_1$にはWeilの定理が適用できて \[ |V_1(\mathbf F_q) -(q+1) | \le 2g q^{1/2} \] (だそう) です。$V_1$の種数$g$は$\le (d-1)(d-2)/2$と評価できます(だそうです;Riemann-Rochとかから出るのでしょう)。そこ…

Lang-Weil による解の個数の評価

表題はもちろん、Lang-Weilの有名論文「Number of Points ...」の定理1のことです。Tao氏によるよくまとまった記事があるので、それを読んでいただいても良いと思います。 主張を(現代の用語で)述べます。$V$を有限体$\mathbf F_q $上の幾何的に整な$r$次…

Divisor function

Let $K$ be a number field. For a non-zero ideal $\mathfrak a$, write $t(\mathfrak a)$ for the number of its divisors (in the multiplicative monoid of non-zero ideals). It's called the divisor function. I wanted to type tau but as always ha…

Vaughan's decomposition 2

In the previous post we estimated the first term on the right hand side of: \[ \mathbb E_{N^{0.9} < n \le N }\mu (n)\bar f(n) = - \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b\le U,c\le V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) + \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b> U,c> V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) . \]…</n\le>

Vaughan's decomposition

In this post I will perform a routine task of verifying something routine. Let $U,V,N$ be positive integers satisfying $UV < N^{0.9}$. The exponent here can be replaced by any positive number $<1$ but I don't want to complicate the notatio…

Green-Tao-Ziegler theorem implies that for the localized integers

In a paper on rational points on varieties, they exploit the Green-Tao-Ziegler theorem. One way to state the theorem is as follows. Let $L_i(x,y)\in \mathbb Z [x,y]$ (i=1, ..., r) be finitely many homogeneous polynomials of degree 1 and as…

TaoのHigher order Fourier analysis第1章

数列の均等分布の理論が説明されていて面白そうです。 第1章は、証明を付けて欲しいところなのに演習問題とされているものが少々多すぎますね。 Exercise 1.1.16 Single-scale均等分布を仮定するとasymptotic均等分布が出るのは割と自明です。 逆を示すには…

C言語とGNU plot

学部時代に教わったC言語とGNU plotのスキルのみで、このAI時代の荒波に立ち向かおうと奮闘しているわけですが、、、 C言語による計算 C言語はmacのパソコンなら開封した瞬間から使えるようです。C言語の基礎的なことはオンラインでも学べます。例えば なん…

Draft for seminar program

Each lecture hopefully requires only 1 hour. Part 1: Introduction - 3 lectures - [L] Part 2: Generalities of Nilsequences - 2 or 3 lectures - [Q] Part 3: Equidistribution - 2 lectures - [Book] and [P] Part 4: MN(s) - 1 lecture - [M] Part 5…

Gowersノルムと、逆予想の逆

Gowersノルムは、整数$s\ge 0$を固定するごとに与えられます。有限アーベル群$Z$上の関数$f\colon Z\to \mathbb C$に対して定義されます。$\Vert f \Vert _{U^{s+1} (Z) }$は次の値の$2^{s+1}$乗根です:\[ \Vert f \Vert _{U^{s+1}(Z)} ^{2^{s+1} }:= \math…

単連結な冪零リー群についての事実まとめ

Baker-Campbell-Hausdorffの定理というものがあります (Wikipedia)。$G$をリー群、$\mathfrak g$をそのリー環、$X\mapsto e^X$をその指数関数とするとき、$X,Y\in \mathfrak g$が十分原点に近い範囲で、\[ e^X e^Y =e^Z \text{ と書く時, }Z= X+Y+\frac 1 2 …

冪零列

線型方程式に関する勉強をしています。 この記事では、冪零列 (nilsequence) の概念を考えたいと思います。この概念は、リンク先の論文の §8 で説明されています。Green氏による2014年の連続講義がYouTubeのIHESのチャンネルに上がっているので、勉強になる…

2次形式と可逆分数イデアル

あとまわしにしていましたが、整数係数2変数2次形式と、2次体の整環の可逆分数イデアルの間のすばらしい対応についてまとめて置きたいと思います。 筆者は谷口氏の記事「高次合成則入門」で初めに知りました:http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bes…

可逆イデアルの特徴付け

$\mathcal O$を1次元Noether整域とします。応用したいのは、$\mathcal O$が数体の整環の場合です。 $K$を$\mathcal O$の商体とします。 定義 $K$の部分$\mathcal O$-加群$\mathfrak a \subset K$が分数イデアルであるとは、$\mathcal O$-加群として有限生成…

Brauer 持ち上げ

$\overline{\mathbb F}_p$係数表現の$\mathbb C$係数への持ち上げ (Brauer持ち上げ。指標経由のものと, Serreの本のもの) K群の計算で使う例 まず$\mathbb C$係数の話を少し思い出します。 $G$が有限群で, 有限次元$\mathbb C$ベクトル空間$V$に作用している…

無限圏概観:$\mathbb E_1$-環上の加群の有限性の概念

l.c.i. 性 Higher Algebra §7.2.4では、加群の2つのレベルの有限性---perfect性と、almost perfect性---が導入されています。 代数に関しては、有限表示、局所有限表示、概(almost)有限表示という3つの概念が導入されています。概有限表示は定義が若干複雑で…

高次圏概観:$\mathbb{E}_1$-環上の加群の平坦性と射影性

Lurie "Higher Algebra" の§7を勉強しています。 $\mathbb E _1$-環とは、スペクトラの世界における、環(1をもち、結合的な)の概念の対応物でした。 すなわちスペクトラム$R$であって、演算$R {}_{\Lambda }R \to R$と単位元$\mathbb{S}\to R$がデータとし…

Milnor 予想篇:§3 Margolis ホモロジーの消滅

次の問題を解決したいのでした。 問題 \( a_1,\dots ,a_w \in k^*\) とする。スキーム \( Q_{\underline{a}}\) を、次の方程式で定まるものとする。 \[Q_{\underline{a}}:=\bigl\{ \langle\langle a_1,\dots ,a_{w-1}\rangle\rangle = a_w t^2 \bigr\}\subse…

Milnor 予想篇:§2 次数写像

前回までに、Milnor 予想の証明は次の問題に帰着されていました。 問題 \( a_1,\dots ,a_w \in k^*\) とする。スキーム \( Q_{\underline{a}}\) を、次の方程式で定まるものとする。 \[Q_{\underline{a}}:=\bigl\{ \langle\langle a_1,\dots ,a_{w-1}\rangle…

Milnor 予想篇:§7 後半。単射性の証明

この記事ではつぎの主張の証明を解説します。 残った課題:\( a_1,\dots ,a_w \) を \(k^*\) の任意の元とするとき、ガロアコホモロジーの写像 \[ H^{w+1,w}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)}) \to H^{w+1,w}_{et}(Spec(k(Q_{\underline{a}}) ),\mathbf{Z}_{(2…

Milnor 予想篇:§7 主定理の証明

§§ 5, 6 で、Bloch-Kato 予想が次の主張から従うことを、一応説明しました。 目標:\[ H^{w+1,w}_L (Spec(k),\mathbf{Z}_{(l)} )=0 \tag{H90\( (w,l)\) }\] これを考える上で役に立つ事実として、§5 で次のことがわかっているのでした。 定理 [\(\mathbf{Z}/…