Harpaz-Skorobogatov-Wittenberg論文の定理3.1を勉強しています。 定理 $K$を数体とし$X$を幾何的に整なスムーズ多様体とする。$\pi \colon X\to \mathbb P^1$をスムーズ射で、ファイバーに関する条件(a) (b)をみたすものとする（条件は論文を参照）。このと…

Colliot-Thelene と Skorobogatov のBrauer群の本から引用しています。 $X$を数体$k$上の正則な有限型スキームとし、整数環上の有限型なモデル$\mathcal X$を取っておきます。$\alpha \in Br (k(X) )$と、ある素点$v$に関して点$x\in \mathcal X(O_v)$を考え…

曲線の場合 $V_1\to V$を正規化とします。$V_1$にはWeilの定理が適用できて \[ |V_1(\mathbf F_q) -(q+1) | \le 2g q^{1/2} \] (だそう) です。$V_1$の種数$g$は$\le (d-1)(d-2)/2$と評価できます（だそうです；Riemann-Rochとかから出るのでしょう）。そこ…

表題はもちろん、Lang-Weilの有名論文「Number of Points ...」の定理1のことです。Tao氏によるよくまとまった記事があるので、それを読んでいただいても良いと思います。 主張を（現代の用語で）述べます。$V$を有限体$\mathbf F_q $上の幾何的に整な$r$次…

Let $K$ be a number field. For a non-zero ideal $\mathfrak a$, write $t(\mathfrak a)$ for the number of its divisors (in the multiplicative monoid of non-zero ideals). It's called the divisor function. I wanted to type tau but as always ha…

In the previous post we estimated the first term on the right hand side of: \[ \mathbb E_{N^{0.9} < n \le N }\mu (n)\bar f(n) = - \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b\le U,c\le V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) + \mathbb E_{N^{0.9}<n\le N } \sum _{b> U,c> V , bc|n } \mu (b) \mu (c) \bar f(n) . \]…</n\le>

In this post I will perform a routine task of verifying something routine. Let $U,V,N$ be positive integers satisfying $UV < N^{0.9}$. The exponent here can be replaced by any positive number $<1$ but I don't want to complicate the notatio…

In a paper on rational points on varieties, they exploit the Green-Tao-Ziegler theorem. One way to state the theorem is as follows. Let $L_i(x,y)\in \mathbb Z [x,y]$ (i=1, ..., r) be finitely many homogeneous polynomials of degree 1 and as…