体上の 2 次形式篇：Pfister forms の科学
いつもどおり、F を標数 \(\neq 2 \) の体とします。n 個の可逆元 \( a_1,\dots ,a_n\in F^* \) に対して、付随する Pfister form をつぎの 2 次形式つき \( 2^n\) 次元空間とします。\[
\langle\langle a_1,\dots ,a_n \rangle\rangle := \langle 1, -a_1 \rangle \otimes \dots \otimes \langle 1, -a_n \rangle .
\] ここで、わたしは Lam の本「Algebraic Theory of Quadratic Forms」p.276 を見ながら書いているのですが、Lam の convention では \( -a_1\) 等々に負号をつけないことになっています。我々は Voevodsky の論文の勉強をしているので、Voevodsky が使っている convention に従うことにします。この辺りはお互い気をつけながら進めていきましょう。
もしもいずれかの \( a_i\) が 1 に等しければ、\( \langle\langle a_1,\dots ,a_n \rangle\rangle \) は双曲的である。
番号のつけかえにより、\( a_1=1\) であると仮定しても差し支えありません。このとき当然 \[
\langle\langle a_1,\dots ,a_n \rangle\rangle = \mathbf{H}\otimes \langle\langle a_2,\dots ,a_n \rangle\rangle
\] となります。前の記事で触れた「吸収性質」により、これは \( a_2,\dots ,a_n\) の値によらずに次の空間 \[
2^{n-1}\cdot \mathbf{H}
\] に同型になってしまいます。◼️
異なる表示を持った Pfister forms がいつ同型になるかを見分ける手段があると、何かと便利です。まず 2-fold Pfister forms については次のような公式があります。
命題 \( a_1,a_2\in F^* \) とするとき、Pfister form \( \langle\langle -a_1, -a_2 \rangle\rangle \) は以下の 2 次形式に同型である：
(1) \( x,t\in F \) が \( a_1x^2+t^2 \neq 0 \) をみたすとき、\[ \langle\langle\ -a_1\ ,\ -a_2(a_1x^2+t^2)\ \rangle\rangle . \] (とくに、\(x=1\) ととれるとき、\( \langle\langle\ -a_1\ ,\ -a_2(a_1+t^2) \ \rangle\rangle \) .)
(2) \( x,t\in F \) が \( a_2x^2+a_2t^2 \neq 0\) をみたすとき、\[ \langle\langle\ -a_1x^2-a_2t^2 \ ,\ -a_1a_2\ \rangle\rangle .\] (とくに、\(x=t=1\) ととれるとき、\( \langle\langle\ -a_1-a_2 \ ,\ -a_1a_2 \ \rangle\rangle \) . 「和と積が現れる」と考えると覚えやすいです。)
証明の方針は、定義 \( \langle\langle a_1,a_2 \rangle\rangle =\langle 1,-a_1,-a_2, a_1a_2 \rangle \) に基づいて、\( \langle -a_1, -a_2 \rangle \) の部分または \( -a_2,a_1a_2 \) の部分を同型で取り替えると主張が出るというものです。ひとまずおいておいて、先に進みましょう。
2-fold Pfister forms の同型の判定が、この命題による変形だけでできるのかは私は知りませんが、2-fold の場合はわりと手に負えそうだということには同意していただけると思います。
じつは、最終的に、n-fold Pfister forms どうしの同型を見つけるには、その一部である 2-fold forms の変形を繰り返せば十分だ、という定理があります。正確に述べると：
定義 ふたつの Pfister forms \( \langle\langle a_1,\dots ,a_n \rangle\rangle ,\ \langle\langle b_1,\dots ,b_n \rangle\rangle \) が直接同値とは、(up to 並べ替えで)
(i) \( \langle\langle a_1,a_2 \rangle\rangle \cong \langle\langle b_1,b_2 \rangle\rangle \)
(ii) \( k\ge 3 \) に対して \( a_k=b_k \)
がなりたつこととする。間接同値とは、直接同値なものによる有限回の置き換えで互いに移りあえることとする。
ふたつの Pfister forms が間接同値ならば、それらはもちろん同型です。次の定理は、その逆が成り立つと言っています。
定理 ふたつの n-fold Pfister forms が同型であることと、間接同値であることは同値である。
この記事では、この定理の証明全体は扱いません。そこに至るテクニックの一部が Voevodsky の論文で使われているので、十分な量だけ扱います。
Pfister form \( \phi = \langle\langle a_1,\dots ,a_n \rangle\rangle \) は必ず \( \phi \cong \langle 1 \rangle \oplus \phi ' \) の形なので、プライム \( '\) は以下その意味で使っていきます。
定理 Pfister form \( \phi :=\langle\langle a_1,\dots ,a_n \rangle\rangle \) が、値 \(b\in F^*\) をとりうるとする。このとき φ は次の形の 2 次形式に同型である：\[
\langle\langle -b,b_2,\dots ,b_{n-1} \rangle\rangle \quad (\exists b_2,\dots ,b_{n-1}\in F^*)
.\]
(これは、「対角型の 2 次形式 \( \langle a_1,\dots ,a_n \rangle \) で成り立っていた表現原理が、Pfister forms に対しても似た形で存在する」という定理だと捉えると良いと思います。対角型の表現原理は、\( \langle a_1,\dots ,a_n \rangle \) が 0 でない値 b を表現するならば、\( \langle b,b_2,\dots ,b_n\rangle \) の形に同型であるという定理でした。本定理で負号が必要になってしまうのは、Pfister form の定義に用いた符号の convention によるものです。)
n に関する帰納法で証明します。\( τ:=\langle\langle a_1,\dots ,a_{n-1} \rangle\rangle \) と置きます。するとプライム \('\) 部分について (直和の順番がムチャクチャですが) \[ \phi ' =\bigl( \langle -a_n\rangle \otimes τ'\bigr) \oplus \langle -a_n \rangle \oplus τ' \] となっています。仮定により、\( b\) はこれで表現されるので、とりあえず \[ b= -a_n (x_0+t^2)+y \] で \( x_0,y \) は τ' のある値、\( t\in F \) という風に書けます。\( x:= x_0+t^2 \) と置きます。なので \( b= -a_n x +y \) です。
これらの値のうち、どれかが 0 の場合は個別に議論が要るのですが、いずれも却って簡単になるので、\( x_0,t,y,x \) のどれも 0 でない場合が本質的と言っていいでしょう。この記事ではその場合に絞って見ていきます。
主張 \( \phi \cong \langle\langle a_1,\dots ,xa_n \rangle\rangle . \)
\( x_0 \) と τ に帰納法の仮定を適用して、\( τ\cong \langle\langle -x_0,b_2,\dots ,b_{n-1} \rangle\rangle \)、したがって \[ \phi \cong \langle\langle -x_0,b_2,\dots ,b_{n-1},a_n \rangle\rangle \] の形になります。このうち、\( \langle\langle -x_0,a_n \rangle\rangle \) の部分に命題(1) を適用すると \( \cong \langle\langle -x_0, (x_0+t^2)a_n \rangle\rangle \) = \(\langle\langle -x_0, xa_n \rangle\rangle\) となるので、全体としては \( \langle\langle a_1,\dots ,xa_n \rangle\rangle \) に同型となります。主張が示せました。
さて、改めて y と τ に帰納法の仮定を適用すると、\[
τ \cong \langle\langle -y,b_2,\dots ,b_{n-1} \rangle\rangle
\] の形になります。主張により、\( \phi \cong τ\otimes \langle\langle xa_n \rangle\rangle \) なので、総合すると \[
\phi \cong \langle\langle -y,b_2,\dots ,xa_n \rangle\rangle
\] となります。このうち両端の \( \langle\langle -y,xa_n \rangle\rangle \) の部分は命題(2) により \( \langle\langle -y+xa_n, yxa_n \rangle\rangle \) に同型です。第一成分は \( -b\) に外ならないので、これで定理が証明できました。◼️
系 もしも \( \phi = \langle\langle a_1,\dots ,a_n \rangle\rangle \) に「長さ 0」のベクトルがひとつでも含まれれば、それは双曲型である。
(とくに、「長さ 0」のベクトルのみからなる \(2^{n-1}\) 次元の (!) 部分線型空間を持つ.)
双曲型の空間の記事で示したように、「長さ 0」のベクトルがあれば、それを含む \( \mathbf{H}:=(F^2\ ,\ x^2-y^2)\) = \(\langle 1, -1\rangle \) に同型な φ の部分空間が存在します。
Witt の消去定理により、φ' は \( \langle -1\rangle \) を含みます。すると、いま示した定理により、φ は \( \phi \cong \langle\langle 1,\dots , \dots \rangle\rangle \) の形に書けます。そうなると、本記事の冒頭の補題により、φ 全体が \( \mathbf{H} \) の \( 2^{n-1} \) 個の直和と同型であることがわかります。◼️
途中で使った Witt の消去定理は、2 次形式の直和について「\( q\oplus q_1\cong q\oplus q_2 \) ならば、\( q_1\cong q_2\) (\(q\) が消去できる)」という内容の定理です。1月4日の記事で取り上げます。
この系は、Voevodsky の論文「Motivic cohomology with Z/2-coefficients」で用いられています。
この記事はこのへんで。
