Milnor 予想篇：§4 つづき。Rost の冪零定理
前の記事の補題 2 の証明
補題 2 を便宜のため再掲します。
補題 2 非特異な 2 次超曲面 \(X/k\) と、元 \( \rho \in \mathrm{End}_{DM(k)}(X) \) について、或る体拡大 \( K/k\) ののちに ρ が冪等になるならば、十分高い冪 \( ρ^N \) は \( k\) 上で既に冪等である。
係数体を拡大する写像 \[
\mathrm{res}_{K/k}\colon \mathrm{End}_{DM(k)}(X) \to\mathrm{End}_{DM(K)}(X_K)
\] の核に関する、ふたつの事実を用います。
簡単な方の事実は、この核の全ての元は \( 2 ^{\dim (X)}\) で消されるということです。これを示すには、K を大きくとり直して、代数閉体 \( K=\Omega \) としても構いません。X を定義する 2 次形式を対角化して \( \langle a_1 \rangle \oplus \dots \oplus \langle a_n \rangle \) と書き、すべての \( a_i \) の平方根を \(k\) に添加した体 \( k\subset k'\subset\Omega \) を考えます。前の記事のようなのモチーフの計算 \[X_{\Omega }\cong Spec(\Omega )\oplus \dots \oplus Spec(\Omega ) (\dim (X))[2\dim (X)] \] は \(k'\) で既に成り立ち、これに基づく End(X) の計算は変わらないので、係数拡大の合成 \[
\mathrm{End}_{DM(k)}(X) \to\mathrm{End}_{DM(k')}(X_{k' })\to\mathrm{End}_{DM(\Omega )}(X_{\Omega })
\] において、2 番目の写像は同型です。1 番目の写像の核は、トレースの議論により拡大次数 \( [k':k]\) で消されます。拡大 \(k'/k\) は、\(n=\dim (X)+2\) 個の元の平方根を添加して得られているので、その次数は最大で \( 2^{\dim (X)+2}\) です。（なので、指数に 4 倍のズレがありましたが、これは以下の議論には影響しないので、気にせず進みましょう。）
核に関する、難しい方の事実は、これが \(\mathrm{End}_{DM(k)}(X)\) のイデアルとして冪零であるということです！これは Rost's Nilpotence Theorem として知られている (少数の人々に)、とても非自明な事実です。その証明は記事の後半で見ることにして、今はその帰結を味わいましょう。
与えられた元 ρ から定義した元 \( \alpha := \rho ^2-\rho \) は、\( \rho _K\) が冪等という仮定から、K では 0 になります。したがって、Rost's Nilpotence Theorem から、\( \alpha \) の十分大きな冪は 0 です。そこで、2 の冪 \( 2^N\) を十分大きくとり、\( \mathrm{Ker} (\mathrm{res}_{K/k}) \) は \(2^N\) で消され、\( \alpha ^{2^N}=0\) も成立するようにします。このとき、等式 \[ \rho ^2 = \rho +\alpha \] を \(4^N\) 乗すると、右辺は \( \left( \begin{array}{c} 4^N \\ i \end{array}\right) \alpha ^i \rho ^{4^N-i} \) という項の和になりますが、\( 1\le i < 2^N\) の範囲では 2 項係数が \(2^N\) の倍数になり、\( i\ge 2^N\) の範囲では \( \alpha ^i=0\) となります。◼️
Rost の冪零定理
これは、つぎの主張を指します。
Rost の冪零定理 X を体 k 上の (射影空間の中の) 非特異 2 次超曲面とする。サイクル \( \rho \in \mathrm{End}_{DK(k)}(X)=CH ^{\dim (X)} (X\times X)\) が、ある拡大体に係数拡大すると 0 になると仮定する。このとき、\( \rho \) は環 End(X) の元として冪零である。
このような現象は、Rosenschon と Sawant の論文によると、非特異射影多様体ならば、いつでも起こると予想されているらしく、そこの序文に、解決しているケースがいくつか挙げられています。下に紹介する証明は、Brosnan の論文「A short proof of Rost nilpotence...」を参考に書いています。プレプリント「The motive of a Pfister form」における Rost 自身の証明と本質的なアイデアは変わりません。
命題 X を非特異完備な k-スキームとし、\( f\in \mathrm{End}_{DM(k)}(X)\) とする。
B を有限型スキームとし、任意の \( b\in B\) と \( 0\le i\le \dim (B) \) に対して、誘導される写像 \[
(f_b)_* \colon CH_i(X_{k(b)})\to CH_i(X_{k(b)})
\] は零写像であると仮定する。このとき、任意の \( g\in CH _{\dim (B)} (B\times X) \) に対して、合成 \[
f^{\circ \dim (B)+1} \circ g \quad\colon\quad B\to X\to \cdots \to X
\] は零写像 (= \( CH_{\dim (B)} (B\times X)\) の零元) である。
\( -1 \le p \le \dim (B) \) に対して、 部分群 \[ F_pCH_i (B\times X)\subset CH_i (B\times X) \] を「B への像の次元が p 以下であるサイクルのなす部分群」と定義します。\( F_{ -1 }CH_i =0 \) で、\( F_{\dim (B)}CH_i =CH_i(B\times X)\) です。
言い換えると、\( B\times X \) 上のサイクルの群 \( Z_i(B\times X)\) を考え、その元 \( \Gamma\subset B\times X \) のうち B への射影 \( pr_1(\Gamma ) \subset B\) が次元 \( \le p\) を持っているもののなす部分群を \( F_pZ_i(B\times X) \) とします。その \( CH_i(B\times X) \) への像が \( F_pCH_i(B\times X)\) です。
開集合 \( U\subset B\) に対して、Chow 群の局所化完全列 \[
CH_i( (B\setminus U)\times X) \to CH_i(B\times X) \to CH_i(U\times X)\to 0
\tag{★}\] がありますから、\( F_pCH_i(B\times X) \) は、「開集合 \( U\subset B\) であって補集合の次元が \( \le p\) のものをうまくとると、\( CH_i(U\times X)\) で消える」ような元のなす部分群といっても同じです。
\( η =\{ η _1,\dots ,η _n \} \in B\) を B の生成点全体からなる集合とします。命題の仮定を \( η \) に適用することにより、合成写像 (図式は可換です) \[ \begin{array}{ccccc}
CH_i(B\times X) &\xrightarrow{f_\ast } &CH_i(B\times X)& & \\
&{}_{制限} \searrow & & {}_{制限}\searrow & \\
&&CH _{i -\dim (B)} (X_η )&\xrightarrow[ (f_{η})_*]{ }& CH_{i -\dim (B)} (X_η )
\end{array}\] は零写像です。(次元を示す添字が変わっているのは、生成点に制限したためです。)
代数幾何ではよくあることですが、生成点で成り立つことは、それを含むある開集合で成り立ちます。今の状況では、個々の元 \( \gamma \in CH_i(B\times X) \) に関して、稠密開集合 \( η \subset U\subset B\) が存在して、\( f_*\gamma \) は \( CH_i(U\times X) \) で消えます。つまり、\[ f_*\gamma \in F_{\dim (B)-1} CH_i(B\times X) \] がわかります。つぎに、\( B\setminus U \) の生成点に対して同じ議論を適用すると、\[ f_* (f_* \gamma ) \in F_{\dim (B) -2}CH_i (B\times X) \] がわかります。これを何度も繰り返すと、\[
(f_*)^{\circ \dim (B)+1}\gamma \in F_{ -1 }CH_i =\{ 0\}
\] を得ます。命題が示せました。◼️
Rost の冪零定理を示します。X を、体 k 上の射影空間 \( \mathbf{P}^{d+1} \) の中の非特異 2 次超曲面とし、 \( \rho \in CH^{\dim (X)}(X\times X) \) が或る体拡大 \( k\subset K\) で 0 になると仮定します。このとき、d のみによって決まる或る正整数 N(d) があって、\( ρ^{Ν(d)}=0\) を示します。（このような一様な N(d) の存在は、以下の帰納的な証明を回すためには必要です。）
d=0 のときは、X は Spec(k) ふたつのコピーまたは 2 次拡大体の Spec です。この場合、End(X) は環 \( \mathbf{Z}\) に等しく、体拡大によって変化しません。なので、ρ は始めから 0 であるよりほかありません。
一般の場合は d に関する帰納法です。まず、X が k-有理点を持つ場合を考えます。このときは X を定める 2 次形式が双曲的平面 \( \mathbf{H}= ( k^2, xy ) \) を含むので、X のモチーフは、以前の記事で説明したように \[
X\cong Spec(k)\oplus Spec(k)(d)[2d] \oplus Y(1)[2]
\] の形に分解します。\( Y\) は \( d-2\) 次元の非特異 2 次超曲面です。この直和成分の相互の写像は零写像しかないことが確認できます。 (たとえば \( \mathrm{Hom}(Spec(k)(d)[2d], Y(1)[2]) \) = \( CH ^{\dim (Y)-d+1}(Spec(k)\times Y) \) = \( CH^{ -1}(Y)=0 \). ) なので、End 環が \[
\mathrm{End}(X)\cong \mathbf{Z}\times \mathbf{Z}\times \mathrm{End}(Y)
\] と環の直積として計算できます。ふたつの \(\mathbf{Z}\) 成分は体拡大によって変わらないので、体拡大によって消えると仮定している ρ の、ここの成分は \( 0\) でなければなりません。
よって、ρ の Y 成分 \( \rho _Y \) が冪零 (で指数が一様に評価できる) であることを示せばよいです。が、次元に関する帰納法から、\( \rho ^{N(d-2)}=0 \) が成り立つことを知っています。というわけで、有理点が存在する場合は簡単に片付きました。
最後に、X が必ずしも k-有理点を持たない場合です。任意の点 \( x\in X\) に対して、係数拡大 \( X_{k(x)} \) は k(x)-有理点を持つので、前段落により、\( (\rho _{k(x)} )^{\circ N(d-2)}=0 \) in \( \mathrm{End}(X_{k(x)}) \) がわかります。
次が面白いところですが、この事実から、さっき示した命題が、\( B=X \) と \( \rho ^{\circ N(d-2)} \in \mathrm{End}(X)\) に適用できます。\( g\) として、恒等写像をあらわす対角サイクル \( \Delta _X\in CH ^{\dim (X)}(X\times X) \) を選ぶと、命題の帰結として、合成写像 \[
\rho ^{\circ (d+1)N(d-2)} \quad\colon\quad X\to \cdots \to X
\] が 0 であることがわかります。これで、N(d)=(d+1) N(d-2) ととれることが示せました。◼️
次の記事では、Rost の spinor ノルムの論文について書いていきたいと思います。
