[tex: ]

Milnor 予想篇:§4 つづき。2 次超曲面の Chow 群

\( \mathbf{Z}/2\) 係数の Bloch-Kato 予想が一般の係数に先行して解けたのは、2 次形式の理論を利用して作った多様体が、証明を便利に回す歯車として使えるからです。

 ただし、Voevodsky 論文じたいでは、2 次形式の理論は、表立って論じられません。すべては Rost の仕事を通じて効いてきます。ここからのいくつかの記事は、Rost のプレプリント (Rost は自分の仕事を出版せずプレプリントとして放置する人らしい) や、その解説記事的な論文にもとづいて綴っていきます。Voevodsky 論文の定理 4.4, 4.5 (= Rost の結果) を認めて先に進むことに躊躇のない方は、この記事 に飛んでください。

 

Rost motive というものを使いこなすために、この記事ではスムーズな射影的 2 次超曲面の Chow 群の構造を復習しましょう。標数はいつもどおり \(\neq 2\) とします。

 

    モチベーション

      \( uv+\phi (x_1,\dots ,x_n) \) のモチーフ

      代数閉体上の計算のまとめ

 

モチベーション

基礎体 \( k\) が代数閉のときを使ってモチベーションを説明したいです。表現原理により、非退化な 2 次形式は \( \langle a_1,\dots ,a_n\rangle \) の形に同型で、今は任意の元に平方根があるので、\( \cong \langle 1,\dots ,1\rangle \) です。

「大人の都合」で恐縮ですが、2 次元ずつ対にするとあとで便利なので、同型 \( \langle 1,1\rangle \cong \langle 1, -1\rangle \cong \) (\( k^{\oplus 2} \), 2 次形式 \(xy\) ) を用いて次の変形をします。\[\begin{array}{cl}
n\text{: even}& x_1x_2+\dots +x_{n -1}x_n^2 ,\\
n\text{: odd}& x_1x_2+\dots +x_{n-2} x_{n -1} +x_n^2. 
\end{array}\] そこで、つぎの問題意識を持つにいたってください。

一般に非退化 2 次形式 \[ \phi (x_1,\dots ,x_n) \] が与えられたとき、これで定まる (\(n -2\) 次元) 2 次超曲面の Chow 群と、 \[ uv+\phi (x_1,\dots ,x_n) \] で定まる (\( n \) 次元) 超曲面の Chow 群の関係を知っていると、計算を低次元の場合に帰着できる。

 

\( uv+\phi (x_1,\dots ,x_n) \) のモチーフ

\( k\) を標数 \( \neq 2\) の体、\(φ(x_1,\dots ,x_n)\) を \( k\) 係数の非退化 2 次形式とし、

\[\begin{array}{rl}
X_\phi :=& \{ uv+\phi (x_1,\dots ,x_n)=0  \} \subset \mathbf{P}^{n+1}\\
Y_\phi :=& \{ \phi (x_1,\dots ,x_n)=0  \} \subset \mathbf{P}^{n -1}
\end{array}\] とおきます。\( X_\phi \) の Chow 群を、 \( Y_\phi \) のそれを用いて書きたいです。

 \( X_\phi \) の開集合 \( \{ u\neq 0\} \) と閉集合 \( \{ u=0\} \) を考えます。開集合のほうは、アフィン空間の部分多様体 \[
\left\{ \frac v u +\phi \left( \frac{x_1}{u},\dots ,\frac{x_n}{u} \right) =0 \right\} \subset \mathbf{A}^{n+1}
\] に等しく、これは \( \mathbf{A}^{n}\) に同型です (各 \( x_i/u \) の値を任意に決めれば \( v/u \) が一意に決まるので)。これにより (高次) Chow 群の局所化完全列から \[\begin{array}{rcl}
\cdots \to CH^{r -1}\Bigl( X_\phi \cap \{ u=0\} ,\bullet \Bigr) \to CH^{r}(X_\phi ,\bullet ) &\to & CH^r(\mathbf{A}^{n},\bullet )\to \cdots  \\
& \nwarrow \swarrow & \\
& {}^{\exists \text{splitting} } &
\end{array}\] となります。Splitting は、構造射 \( X_\phi \to Spec(k) \) による引き戻し写像です。

 閉集合のほうは、座標 \( v,x_1,\dots ,x_n\) を持つ射影空間 \( \mathbf{P}^n\) の中で、方程式 \[
\phi (x_1,\dots ,x_n)=0
\] で決まる多様体です。座標 \( v \) に依らない形をしており、\( Y_\phi \) と同じ方程式を持っています。すなわちこれは \( \mathbf{P}^{n} \) の中で、点 (1,0, ... ,0) を中心として、\( v=0\) 超平面に含まれている \( Y_\phi \) の (cone) をとったものになっています。

 次のように捉えてもよいです。点 (1,0, ... ,0) からの射影を π と書くことにします:\[
\pi \colon \mathbf{P}^{n} - - \dashrightarrow \mathbf{P}^{n -1}; \quad (v,x_1,\dots ,x_n)\mapsto (x_1,\dots ,x_n)
\] これは (1,0, ... ,0) 以外の点で well-defined で、ファイバーはすべて \( \mathbf{A}^1 \) に同型です。は、\( \pi ^{ -1}(Y_\phi ) \) の閉包であり、点 (1,0, ... ,0) と \( Y_\phi \) 上の \(\mathbf{A}^1\) 束の和集合です。したがって (高次) Chow 群について:\[\begin{array}{rcl}
\cdots \to CH^{r-(n-1)}(pt,\bullet )\to CH^r(Y_\phi \text{の錐},\bullet )&\to &CH^r(Y_\phi \text{上の}\mathbf{A}^1\text{束},\bullet ) \to \cdots \\
&\nwarrow \swarrow & \\
&{}^{\exists \text{splitting}}&
\end{array}\] を得ます。最後の項は \( Y_\phi \) の Chow 群に同型で、「サイクルの錐をとる」という名の切断 \( CH^r(Y_\phi ,\bullet ) \to CH^r(Y_\phi \text{の錐} )\) があります。結論として、同型 \[
CH^r\Bigl( X_\phi \cap \{ u=0\} ,\bullet \Bigr) \cong CH^r(Y_\phi ,\bullet )\oplus CH^{r-(n-1)}(pt,\bullet )
\] を得ます。まとめると、\[
CH^r(X_\phi ,\bullet )\cong CH^{r }(pt,\bullet )\oplus CH^{r -1}(Y_\phi ,\bullet )\oplus CH^{r -n}(pt,\bullet )
\] ということになります。Chow 群における余次元の 1 シフトは Voevodsky の圏 DM の (1)[2] シフトにあたるので、DM では次のように分解しています:

\[
X_\phi \cong \mathbf{Z}\oplus Y_\phi (1)[2] \oplus \mathbf{Z}(n)[2n].
\]

 初めの \(\mathbf{Z}\) は「構造射 \( X_\phi \to pt \)」、 中央の成分は「超平面との交わりであり、 \( Y_\phi \) の錐」、最後の成分 \( \mathbf{Z}(1)[2]\) は「有理点」と憶えるとよいです。

 この直和分解が、\( X_\phi \) が有理点を持つ (= φ が 2 次元双曲空間 \( \langle 1, -1\rangle \) を直和成分として持つ) とは限らない場合にも存在するというのが、Rost の冪零性定理 の帰結で、次の記事で扱います。

 この場合はもちろん、中央の直和成分は \( Y_\phi (1)[2]\) のようなよくわかった形では書かれず、とにかく正体不明の直和成分があるということだけがわかります。Voevodsky の議論で用いるのは両端だけなので、これは私たちには問題とはなりません。

 また、両端の \( \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}(1)[2] \) も、この形にまとめれば一般の体上で直和成分として取り出せますが、\( \mathbf{Z} \) と \( \mathbf{Z}(1)[2] \) を分離することは一般にはできません。 

代数閉体上の計算のまとめ

これを利用して、せっかく始めた代数閉体の場合の計算をおえておきましょう。結果がスッキリするように添字を選んで、\[
X_n:= \{ x_1^2+\dots +x_{n+2}^2 =0\} \subset \mathbf{P}^{n +1}
\] とおきましょう。こうしておくと \( X_n\) は \(n\) 次元です。さっきの計算により、\( X_n\cong \mathbf{Z}\oplus X_{n -2}(1)[2]\oplus \mathbf{Z}(n)[2n] \) が成り立ちます。低次元の場合は \[\begin{array}{l}
X_0 \cong \{ x_1x_2=0 \} \subset \mathbf{P}^1 \text{は 2 点}, \\
X_1 \cong \{ x_1x_2+x_3^2=0\} \subset \mathbf{P}^2 \text{は} \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}(1)[2]
\end{array}\] であることが確認できます。\( X_1\) は、ゆっくり考えると 2 重 Veronese 埋め込みされた \(  \mathbf{P}^1\) に外ならないことがわかりますが、ここではそのことは必要ありません。結果として

代数閉体上のスムーズ \(n\) 次元 2 次超曲面のモチーフ: \[\begin{array}{rl}
n=2m\text{: even } \quad X_n\cong &\mathbf{Z}\oplus \dots \oplus \mathbf{Z}(m -1)[2(m -1)] \\ & \oplus \mathbf{Z}^{\oplus 2}(m)[2m] \\ & \oplus \mathbf{Z}(m+1)[2(m+1)]\oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}(n)[2n] \\ {} \\
n=2m -1\text{: odd} \quad X_n\cong &\mathbf{Z}\oplus \dots \oplus \mathbf{Z}(m -1)[2m -2] \\ & \oplus \mathbf{Z}(m)[2m] \oplus  \cdots \oplus \mathbf{Z}(n)[2n] 
\end{array}\]

となります。計算過程を追っていくことにより、それぞれの直和成分の意味もわかります。

 余次元の浅いところは、\( X_n\) と linear subspaces の交わりに対応しています。

 余次元の深いところ (=サイクルの次元が低いところ) は、\( X_n\) 上の有理点と、そのを繰り返しとったものに対応しています。これらは、射影空間に同型であり、与えられた 2 次形式の isotropic subspaces に対応しています。

 次元が偶数のときは「中央次元」のところが面白くなるのは、よくある話です。奇数次元のときは、m 個ずつ半分に分かれています。

 

この記事はここまでで。