Milnor 予想篇：§7 後半。単射性の証明
この記事ではつぎの主張の証明を解説します。
残った課題：\( a_1,\dots ,a_w \) を \(k^*\) の任意の元とするとき、ガロアコホモロジーの写像 \[ H^{w+1,w}_{et}(Spec(k),\mathbf{Z}_{(2)}) \to H^{w+1,w}_{et}(Spec(k(Q_{\underline{a}}) ),\mathbf{Z}_{(2)}) \tag{課題}\] が H90\( (w-1,2) \) のもと単射である。
H90\( (w-1,2) \) の仮定は次の主張を通して効いてきます。
命題 H90\( (w-1,2)\) のもと、\[ H^{w+1,w}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),\mathbf{Z}_{(2)} )=0. \]
\( \check{C}(Q_{\underline{a}} ) \) は \( Spec(k) \) に etale 局所的には弱同値なものです。\(Spec(k)\) に関しては、\( H^{w+1,w}=0\) は知っており \( H^{w+1,w}_{et}=0 \) を示したいと思っているので、この命題はいかにも目標に近づいている感じがすると思います。
この証明に §§ 3, 4 の Steenrod 代数と 2 次形式の理論が効いてくるのですが、これは将来の記事にゆずり、いったんこの使い方を見ましょう。
命題の直接の帰結として次が言えます。複体 \( K(w) \) を次の完全三角形で定義します：\[ \mathbf{Z}(w)\to τ^{\le w+1}R\pi _* \mathbf{Z}(w)_{et} \to K(w)\to . \] すると、\( H^{w+1}_{N is}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),-)\) を施して得られる写像 \[ H^{w+1,w}_{et}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),\mathbf{Z}_{(2)} (w) )\longrightarrow H^{w+1,w}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),K(w)_{(2)} (w) ) \] は単射です。
命題をみとめて課題を解決
いま、写像 (課題) の核に属する元 \( u\in H^{w+1,w}_{et}(k, \mathbf{Z}_{(2)}) \) をとり、次の図式に沿った各空間への引き戻しを考えていきます。
\[ \begin{array}{ccccc}
Spec(k(Q_{\underline{a}}) )\to &Q_{\underline{a}} &\to &\check{C}(Q_{\underline{a}} ) &\mathbf{Z}_{(2)}(w)\to K(w)_{(2)} \\
&\downarrow \overset{\text{epi}}{\oplus} &\nearrow & \downarrow &\\
&M_{\underline{a}}&\to & Spec(k) \quad u &
\end{array}\] コホモロジー群の方の図式は：\[\begin{array}{ccccc}
H^{w+1,w}(k(Q_{\underline{a}}),K(w)_{(2)} )&\xleftarrow{\simeq } &H^{w+1,w}( Q_{\underline{a}} ,K(w)_{(2)} )&\leftarrow &H^{w+1,w}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),K(w)_{(2)} )\\
\uparrow &&\uparrow \overset{\text{mono} }{\oplus }&\swarrow (*)&\uparrow \text{inj.} \\
H^{w+1,w}_{et}(k(Q_{\underline{a}}),\mathbf{Z}_{(2)}(w) )& &H^{w+1,w}( M_{\underline{a}} ,K(w)_{(2)} )& &H^{w+1,w}_{et}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),\mathbf{Z}_{(2)}(w) )\\
\nwarrow & &&&\uparrow \simeq \\
&\leftarrow&\leftarrow &\leftarrow & H^{w+1,w}_{et}(k,\mathbf{Z}_{(2)}(w) ) \ni u
\end{array}\] 左上の同型は §6 の記事から。右上の単射は今みとめた命題の帰結。右下の同型は \( \check{C}(Q_{\underline{a}})\to Spec(k)\) が etale local に弱同値だからです。Diagram-chasing によって、\(u\) は中央の群 \( H^{w+1,w}_{et}(M_{\underline{a}}, K(w)_{(2)}) \) で消えていることがわかります。写像 \( (*)\) を含む完全系列が §4 で得られていました：\[
H^{w+1-(2d+1),w }(\check{C}(Q_{\underline{a}}){}_{\Lambda }T^d ,K(w)_{(2)} ) \to H^{w+1,w}(\check{C}(Q_{\underline{a}}),K(w)_{(2)} ) \xrightarrow{(*)} H^{w+1,w}(M_{\underline{a}}, K(w)_{(2)})
\] ここで \( d=\dim (Q_{\underline{a}}) = 2^{w-1}-1\) です。\( w\ge 2\) でこの値は正なので、同じ §6 の記事により、H90\( (w-1,2)\) のもと左端の群は 0 です。つまり、\( (*)\) も単射です。以上で、核からとっていた元 \( u\) が 0 であることが結論されました。命題をみとめると課題が解決できることがわかりました。◼️
