Milnor 予想篇：§4 つづき。Rost motive の構成
この記事は Karpenko の 4 ページからなるノート「A shortened construction of the Rost motive」を見ながら書いています。チンタラ書くので、Chow 群のリテラシーのある方は、Karpenko の論文を読む方が絶対に速いです。
いつもどおり、\(k\) を標数 \(\neq 2\) の体とします。
φ を \(k\) 係数の非退化な 2 次形式とします。次元は偶数と仮定し、あとの都合に合わせて \( 2n+2 \) とおきます。Milnor 予想に使うのは、φ が Pfister form の場合です (なので、n は \( 2^\bullet -2\) の形)。
\( a\in k^* \) を用いて \( \phi \oplus \langle -a \rangle \) の形で書ける 2 次形式を考え、これで定まる \( \mathbf{P}^{2n+2}\) の超曲面 \(X\) を考えます。\( \dim (X)=2n+1\) です。論文の \( Q_{\underline{a}}\) を念頭に置いてください。
定理の主張
前の記事で、\( X\) が有理点を持つ (つまり、\( \phi \oplus \langle -a\rangle \) が \( \langle 1, -1\rangle \) を直和成分として持つ) ときはモチーフの圏での分解 \[
X\cong \Bigl( \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}(\dim (X) )[2\dim (X) ]\Bigr) \oplus Y(1)[2] \tag{★}
\] があることを見ました。
この記事では、このようなふたつの成分への直和分解が、φ が Pfister form の場合に有理点の仮定なしに存在することを説明します。(ただし、\( \mathbf{Z} \) と \( \mathbf{Z}(\dim (X) )[2\dim (X) ]\) は体拡大しなければ分離できません。)
φ は Pfister form としますが、 この記事の範囲では、この条件は、偶数次元であるということと、
「φ が『長さ 0』の非零ベクトルを 1 本でも含めば、『長さ 0』ベクトルからなる \( \frac{\dim (\phi )}{2} \) 次元の部分空間が存在する」
という事実を通してのみ効いてきます。
定理 φ を Pfister form とし、\(a\in k^*\) とする。\( X\subset \mathbf{P}^{2n+2}\) を、2 次形式 \( \phi \oplus \langle -a\rangle \) で定まる超曲面とする。このとき、X の DM(k) での分解であって、体拡大すると (★) に一致するようなものが (一意に) 存在する。
この直和成分のうち、\( \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}(\dim (X) )[2\dim (X) ] \) に対応するものを Rost motive と呼びます。Voevodsky の論文で \( \mathrm{M}_{\underline{a} } \) と書かれているものです。
一意性も大切な性質ではありますが、存在の方が非自明に思われることですので、この記事では存在性のみを説明したいと思います。
\( k\subset K\) を、射影多様体 \( \phi =0\) が非自明な \( K\)-有理点を持つような体拡大とし (あとで、2 次拡大としてとれることを使います)、\[ \mathfrak{X}:=X_K \] と置きます。K の選び方から特に、X も K-有理点を持ちます。\( \mathfrak{X} \) の K-有理点 \(p\) を任意にとっておきます。DM では射影多様体どうしの Hom 集合は Chow 群になるので、\[
\mathrm{End}_{DM(K)}(\mathfrak{X})= CH ^{\dim (X)} (\mathfrak{X}\times \mathfrak{X})
\] です。\( \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}(\dim (X) )[2\dim (X) ] \) への射影子は、サイクル \[
\rho := [p\times \mathfrak{X}] + [\mathfrak{X}\times p]
\] で与えられます。これは簡単なことですが、念のため理由を脚注の中に入れておきます。
ρ が冪等 (\( ρ^2=ρ\) ) であること。*1
合成 \( \mathfrak{X}\xrightarrow{f}Spec(K)\xrightarrow{p}\mathfrak{X} \) が第 2 項に対応すること。*2
合成 \( \mathfrak{X}\to Spec(K)( \dim (X) ) [ 2\dim (X) ]\to \mathfrak{X} \) が第 1 項に対応すること。*3
恥ずかしながら、このような射とサイクルの翻訳作業を、丁寧に自分でチェックするのは、ブログ主は初めてだったかもしれません。良い子の皆さんは、早い段階で、興味の持てる計算を自分で納得するまでゆっくりやってみる経験をしてください。
定理の証明
Karpenko は次のふたつの主張を示しています。このふたつから定理が従うことは明らかでしょう。
補題 1 上記の ρ は、\(k\) 上で定義される。 (= \( CH^{\dim (X) }(X\times X) \) の元の像として得られる。)
補題 2 非特異な 2 次超曲面 \(X/k\) と、元 \( \rho \in CH ^{\dim (X)}(X\times X)\) について、或る体拡大 \( K/k\) ののちに ρ が冪等になるならば、十分高い冪 \( ρ^N \) は \( k\) 上で既に冪等である。
補題 1 について考えていきます。 体拡大 K を、φ が非自明な零点を持つようにとったので、φ は双曲型 (\( \langle 1, -1 \rangle \) の直和) です。このことから \( \mathfrak{X}=X_K\) のモチーフは前の記事で計算したように (\( a\in k^*\) が平方であるか否かにかかわらず) \[
\mathfrak{X}\cong Spec(K)\oplus Spec(K)(1)[2]\oplus \dots \oplus Spec(K)(2n+1)[4n+2]
\] そして Chow 群は \[ \begin{array}{ccrl}
CH^0(\mathfrak{X}) &=& \mathbf{Z} &\text{the only irreducible component}\\
CH^1(\mathfrak{X}) &=& h\cdot \mathbf{Z} & \text{the class of a hyperplane section} \\
CH^2(\mathfrak{X}) &=& h^2\cdot \mathbf{Z}& \\
&\vdots & & \\
CH^{n}(\mathfrak{X}) &=& h^{n}\cdot \mathbf{Z} & \\
CH^{n+1}(\mathfrak{X}) &=& \frac{ 1}{ 2} h^{n+1}\cdot \mathbf{Z} & \text{the class of an isotropic linear space} \cong \mathbf{P}^{n} \\
&\vdots & & \\
CH^{2n+1}(\mathfrak{X}) &=& \frac{ 1}{ 2} h^{2n+1}\cdot \mathbf{Z} & \text{the class of }p
\end{array}\] よって \( \mathrm{End}_{DM(K)} (\mathfrak{X}) \) の計算をすると：\[\begin{array}{ccl}
CH^*(\mathfrak{X}\times \mathfrak{X})&\cong & CH^*(\mathfrak{X})\otimes CH^*(\mathfrak{X}) \\
\mathrm{End}(\mathfrak{X})=CH^{2n+1}(\mathfrak{X})&\cong & (1\otimes \frac{1}{2}h^{2n+1})\mathbf{Z}\times \dots
\times (h^{n}\otimes \frac 1 2 h^{n+1})\mathbf{Z} \\
&&\times ( \frac 1 2 h^{n+1}\otimes h^{n})\mathbf{Z}
\times \dots
\times (\frac 1 2 h^{2n+1}\otimes 1 )\mathbf{Z}
\end{array}\] (環の直積) となっています。恒等射は \( \mathrm{id} =1\otimes \frac 1 2 h^{2n+1}+ \dots + \frac 1 2 h^{2n+1}\otimes 1 \) なので、ρ との差をとると、両端の項が落ちて \[\begin{array}{ccl}
\mathrm{id}-\rho &=& h\otimes \frac 1 2 h^{2n}+\dots + h^{n}\otimes \frac 1 2 h^{n+1}\\
&& \quad +\frac 1 2 h^{n+1}\otimes h^n +\dots +\frac 1 2 h^{2n}\otimes h \\
&& \\
&=&(h\otimes \frac 1 2 h^{n+1} + \frac 1 2 h^{n+1}\otimes h) (1\otimes h^{n-1} + \dots + h^{n-1}\otimes 1) .
\end{array}\] 第 2 因子は \(k\) 上定義されているので、第 1 因子が \( k\) 上定義されていれば十分です。
\( \phi =0 \) で定義される射影多様体を \( Y\) と書きます。これは \(X\) の超平面切断でもあり、\(2n\) 次元です。\( \mathcal{Y}:=Y_K \) とおきます。\( \pi \cong \mathbf{P}^n \subset \mathcal Y \) を、\( \mathcal Y \) に含まれる isotropic linear space とします。\( \mathrm{in}\colon Y\hookrightarrow X\) を埋め込み写像とすると、前式の第 1 因子は \[
(\mathrm{in}\times \mathrm{in})_* (1\otimes \pi + \pi \otimes 1)
\] に等しいです。そこで \(1\otimes \pi + \pi \otimes 1\in CH^n (\mathcal Y \times \mathcal Y )\) が \( k\) 上定義できていればよいです。
φ は \(K\) 係数では双曲的なので、\( CH^*(\mathcal Y )\) や \( CH^*(\mathcal Y \times \mathcal Y ) \) の計算も、上とほぼ同様にできます。私たちが使うのは：\[
CH^{n}(\mathcal Y \times \mathcal Y )= (1\otimes \pi \mathbf{Z})\oplus (h\otimes h^{n -1}\mathbf{Z})\oplus \dots \oplus (\pi \otimes 1\mathbf{Z}) .
\] \( Y\) の関数体を \( k(Y)\) とします。\(Y\) は \(k(Y)\)-有理点を持ち、Pfister form φ は双曲型になるので、\( Y_{k(Y)}\) の Chow 群も同様に計算できます。
\( \pi _{k(Y)} \subset Y_{k(Y)} \) を、isotropic linear subspace \( \cong \mathbf{P}^n\) とします。部分多様体としては、先ほどの \(\pi \) と異なるかもしれませんが、\( K\) と \(k(Y)\) の共通の拡大体において、Chow 群の元としては同じものを定めます。
次の可換図式で、横向きの写像は、開集合への制限写像なので全射です。 \[\begin{array}{ccl}
& & \pi \otimes 1 \\
{} \\
CH^n(\mathcal Y \times \mathcal Y ) &\rightarrow & CH^n (\mathcal Y \times _K K(\mathcal Y ) ) = \pi \otimes 1 \mathbf{Z} \\
\uparrow &&\cong \uparrow \\
CH^n(Y \times Y ) &\twoheadrightarrow & CH^n (Y \times _k k(Y ) ) = \pi _{k(Y)}\mathbf{Z} \\
{} \\
\exists \alpha &\mapsto & \pi _{k(Y)}
\end{array}\] したがって、図のように \( \pi _{k(Y)}\) に写る元 \(\alpha \) があります。その係数拡大は、右上の群への像の情報から \[ \alpha _{K}=\pi \otimes 1 + a (1\otimes \pi )+ \sum _{i+j=n } a_{ij} (h^i \otimes h^{j}) \] の形にならざるを得ません。この等式で \( \pi \otimes 1 \) と \( a(1\otimes \pi )\) 以外の項は \(k\) 上定義されていますので、\( \pi \otimes 1+a(1\otimes \pi )\) は \(k\) 上定義されています。
ところで、\( \pi \) の push-forward \( tr_{K/k} \pi \in CH^n(Y) \) を再び K に係数拡大したものは、必然的に \( \pi \) の整数倍ですが、次数の観点から \( (tr_{K/k} \pi )_K =2 \pi \) とわかります。このことと合わせると、\(a\) がたまたま奇数の場合は、\( \pi\otimes 1 + 1\otimes \pi \) が \(k\) 上定義されていることになり、目標どおりです。\(a\) が偶数の場合は、\( \pi \otimes 1 \) が \(k\) 上定義されていることが結論されますが、その場合は成分を入れ替える \( Y\times Y\) の自己同型により \( 1\otimes \pi \) も \(k\) 上定義されていますので、結局 \( \pi \otimes 1 + 1\otimes \pi \) も \(k\) 上で定義できています。これで補題 1 が証明できました。◼️
文字数の制限が迫ってきたので、補題 2 は次の記事で扱います。
*1:
まず、ρ が冪等 (\( ρ^2=ρ\) ) であることを見ましょう。 \( \mathrm{End}(X)\) の中で \( [a\times b] \) の形をした元どうしの合成は簡単に計算できます：\[
[a\times b] \circ [a'\times b'] = \deg (b\cap a') \cdot [a\times b']
\] です。ここで、deg は交叉積 \( b\cap a' \) が \( CH_0(X) \) に属していれば (つまり、b と a' の余次元の和が dim(X) に等しければ) その次数、それ以外のときは 0 とします。
この公式は、\( f\in CH^{\dim (Y)}(X\times Y) \) と \( g\in CH^{\dim (Z)} (Y\times Z)\) の合成を「共通の容れ物 \(X\times Y\times Z\) まで引き戻してから交叉積をとり、\( Y\to Spec(k)\) で推す」と定義していることをからわかります。公式を使えば、\( \rho = [p\times \mathfrak{X}] + [\mathfrak{X}\times p] \) が \(ρ^2=ρ \) を満たすことは暗算で確認できるでしょう。
*2:
\( f\colon \mathfrak{X}\to Spec(K) \) を構造射とします。グラフを考えて、これは Chow 群の元 \[ [\mathfrak{X}\times Spec(K)] \in CH ^{0} (\mathfrak{X} \times Spec(K) ) \] に対応します。\( p\colon Spec(K)\to \mathfrak{X} \) を選んだ有理点とします。この射は Chow 群の元 \[ [Spec(K)\times p ]\in CH ^{\dim (X)}(Spec(K) \times \mathfrak{X}) \] に対応しています。合成 \( \mathfrak{X}\xrightarrow{f}Spec(K)\xrightarrow{p}\mathfrak{X} \) はサイクル \[ [\mathfrak{X}\times p] \in CH ^{\dim (X)} (\mathfrak{X}\times \mathfrak{X}) \] に対応することがわかります。
*3:
もう片方の直和成分への射影 \[ \mathfrak{X}\twoheadrightarrow Spec(K)(\dim (X) )[2\dim (X) ] \] は有理点の類 \( [p] \in CH ^{\dim (X)}(\mathfrak{X}\times Spec(K) ) \) に対応しています。この射による「引き戻し」が Chow 群の push-forward \( CH^{r-\dim (X)}(Spec (K) )\xrightarrow{(点p)_*} CH^r(\mathfrak{X}) \) であるべきなので。
埋め込み \[Spec(K)(\dim (X) )[2\dim (X) ]\hookrightarrow \mathfrak{X} \] は構造射の転置 \( {}^t f= [Spec(K)\times \mathfrak{X}] \in CH^{0}(Spec(K)\times \mathfrak{X}) \) に対応します。\( {}^t f\) による「引き戻し」は \(f\) による push-forward であり、辻褄が合います。合成 \[
\mathfrak{X}\xrightarrow{[p]}Spec(K)(\dim (X) )[2\dim (X)]\xrightarrow{{}^t f}\mathfrak{X}
\] はしたがって、サイクル \( [p\times \mathfrak{X} ] \in CH^{\dim (X)}(\mathfrak{X}\times \mathfrak{X})\) です。以上で \( \mathfrak{X} \) から \( \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}(\dim (X) )[2\dim (X) ] \) への射影子が、上に書いた ρ であることが確認できました。【脚注おわり】
