この節では、§5 の総冪作用素 \( P_l \) と、§6 の \( BS_l \) のコホモロジー群の計算を利用して、個冪作用素（係数は \( \mathbf{Z}/l \) ）
\[ \begin{array}{rl} P^i\colon & \tilde{H}^{p,q}(-)\to \tilde{H}^{p+2i(l -1)\phantom{+},\ q+i(l -1) }(-), \\
B^i\colon & \tilde{H}^{p,q}(-)\to \tilde{H}^{p+2i(l -1)+1,q+i(l -1) }(-), \end{array}\]
を定義します。おそらく添字の見やすさのためですが、\( C_{i+1}, D_i \) と書かれる作用素を先に導入して、そのうえで \( \tilde{H}^{2d,d}(-) \) 上で \[ P^i:=D_{d-i},\quad B^i:= C_{d-i} \] と定めることになります。そのあとコホモロジー作用素の一般論を用いてすべての添字 \( \tilde{H}^{p,q}(-) \) に写像を延長します。関係式 \( \beta \circ B^i=P^i \) があることを意識しておくと、次数の +1 は憶えやすいかもしれません。別の関係式 \( \beta \circ P^i = 0 \) が §8 のお陰で従います。Milnor予想で用いるのは \( l =2\) であり、\( BS_l \) の計算も当ブログではその場合しか述べていないので、以下では主に \( l=2 \) としています。
\( C_{i+1},D_i \) の構成 双安定コホモロジー作用素
\( P^i, B^i\) と Steenrod square
\( C_{i+1},D_i \) の構成
コホモロジーは \( \mathbf{Z}/2\) 係数とし、基礎体 k の標数は 2 でないとします。基礎体のコホモロジーを略記します：\( H^{*,*}:=H^{*,*}(k,\mathbf{Z}/2). \)
§6 で分類区間 \( B\mu _2=BS_2 \) のコホモロジーの計算 \[ H^{*,*}(BS_2, \mathbf{Z}/2) \cong H^{*,*}[ [ u,v ] ] /(u^2=[-1]u+[-1]v) \] を説明しました（ \( u\in H^{1,1}(BS_2), v\in H^{2,1}(BS_2) \) ）。記事でははっきり述べませんでしたが、これは点付き前層 \( F_\bullet \) 上でも相対的に成り立ちます。\( l\neq 2 \) のときの記号と合わせるために \( u=c, v=d \) と書き換えさせて下さい（アルファベット順になっているので、憶えやすい筈。次数にも記号 d を使うが、混乱のおそれは少ない）。\[ \displaystyle \tilde{H}^{*,*}(F_\bullet {}_{\Lambda }BS_2) \cong \frac{\tilde{H}^{*,*}(F_\bullet )[ [ c,d ] ] }{ (c^2=[-1]c+[-1]d)} , \quad \left\{ \begin{array}{l} c\in H^{1,1}(BS_2), \\ d\in H^{2,1}(BS_2). \end{array}\right. \]
§5 の総冪作用素と \(BS_l\) の計算を使うと、コホモロジー類 \( w\in \tilde{H}^{2d,d}(F_\bullet ) \) に対して \( P_l(w) \) の分解が得られます：
\[ \begin{array}{ccc} w\in\tilde{H}^{2d,d}(F_\bullet )&\xrightarrow{ {P}_2} &\tilde{H}^{4d,2d}(F_\bullet {}_{\Lambda }BS_2)\hspace{140pt} \\
&\cong &\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{2d-1} \tilde{H}^{4d-2i-1,2d-i-1}(F_\bullet )\cdot cd^i \oplus \bigoplus _{i=0}^{2d}\tilde{H}^{4d-2i,2d-i}(F_\bullet ) \cdot d^i \\
&\mapsto & P_2(w)= C_{i+1}(w)\cdot cd^i + D_i(w)\cdot d^i . \end{array} \] \( C_{i+1}\) で添字がずらしてあるのは気になるところですが、あとで都合がよくなる仕組みになっているので、がまんして下さい。\( C_{i+1},D_i\) という記号は定義域の次数 d を含めたものにすることもできましたが、煩雑になるのを避けています。
これらの作用素は、コホモロジーの外部積 \( (-){}_{\Lambda }(-)\colon \tilde{H}^{2d,d}(F_\bullet )\otimes \tilde{H}^{2d',d'}(F'_\bullet )\to \tilde{H}^{2d+2d',d+d'}(F_\bullet {}_{\Lambda }F'_\bullet ) \) と次のような整合性を持っています。
Cartan 公式:
\[ \begin{array}{rcll}D_i(u{}_{\Lambda }v) &=& \displaystyle \sum _{\begin{subarray}{c}r\ge 0,s\ge 0 \\ r+s=i\end{subarray}} D_r(u){}_{\Lambda }D_{s}(v)& \displaystyle + τ \sum _{\begin{subarray}{c}r\ge 0,s\ge 0 \\ r+s=i-1 \end{subarray}} C_{r+1}(u){}_{\Lambda }C_{s+1}(v) \\
C_{i+1}(u{}_{\Lambda }v)&=&\displaystyle \sum _{\begin{subarray}{c}r\ge 0,s\ge 0 \\ r+s=i \end{subarray}} C_{r+1}(u){}_{\Lambda }D_{s}(v)&+ D_{s}(u){}_{\Lambda }C_{r+1}(v)\\ &&& + \rho C_{r+1}(u){}_{\Lambda }C_{s+1}(v)\end{array} \tag{*} \]
ここで \( τ=[-1]\in H^{0,1}=\mu _2(k), \rho =[-1]\in H^{1,1}=k^*/(k^*)^2\) です。これは次のように確かめられます。まず、写像の構成からほぼ直接、つぎの等式が確かめられます [Reduced power, Lem.5.9].
\[ \begin{array}{rl}P_l(u{}_{\Lambda }v )= \Delta ^* (P_l(u){}_{\Lambda } P_l(v)) \colon\quad \\
\quad\tilde{H}^{2d,d}(F_\bullet )\otimes \tilde{H}^{2d',d'}(F'_\bullet )& \xrightarrow{P_l{}_{\Lambda }P_l} \tilde{H}^{2d+2d',d+d'}(F_\bullet {}_{\Lambda }F'_\bullet {}_{\Lambda }BS_2{}_{\Lambda }BS_2 ) \\
& \xrightarrow{\Delta ^*} \tilde{H}^{2d+2d',d+d'}(F_\bullet {}_{\Lambda }F'_\bullet {}_{\Lambda }BS_2) \end{array} \] この式で \( P_l(u),P_l(v) \) を \( c,d\) の級数として書き、cup 積を計算して（公式 \( c^2=[-1]c+[-1]d\) を使う）、\( P_l(u{}_{\Lambda }v)\) の表示と見比べると結果を得ます。
さて次に \( t\in \tilde{H}^{2,1}(T)= \left( \frac{k[t,t^{-1}]^*}{k^*} \middle) \right/l \) を変数 \( t\) で代表される元とするとき、\[ \begin{array}{rl} P_2(t)=t\cdot d & \in \tilde{H}^{4,2}(T{}_{\Lambda }{(BS_2)}_+) \\ &= \tilde{H}^{4,2}(T)\oplus \tilde{H}^{3,1}(T)c\oplus \tilde{H}^{1,0}(T)cd \oplus \tilde{H}^{2,1}(T)d\oplus \tilde{H}^{0,0}(T)d^2 \end{array}\] という直接計算があります。作用素 \( C_{i+1},D_i\) でこれを解釈すると \[ \begin{array}{rl} \forall i\ge 0 \quad C_{i+1}(t)=0,& \\ \quad D_1(t)=t,& \quad \forall i\neq 1 \quad D_i(t)=0\end{array} \] ということになります。
(*) の整合性において v=t の場合を考えると、右側の \( D_{s}\) が \( D_1 \) である項のみが生き残るので、次の形になります：\[ \begin{array}{ccc} D_i(u{}_{\Lambda }t )&=&D_{i-1}(u){}_{\Lambda }t, \\ C_{i+1}(u{}_{\Lambda }t)&=&C_i(u){}_{\Lambda }t \end{array}\tag{**} \] じつは、この条件はコホモロジー作用素の一般論で「双安定性」と呼ばれるものになっています。
一般に、上記の条件を満たす写像の族（ \( i,j \) は選ばれた整数。係数は任意の環でよいが、ここでは \( \mathbf{Z}/l\) を想定していれば十分です）
\[ \begin{array}{l}\phi _{d}\colon \tilde{H}^{2d,d}(-)\to \tilde{H}^{2d+i,d+j}(-) \quad d\ge 0, \quad \\ \text{条件 }\phi _{d+1}(-{}_{\Lambda }t )= \phi _{d}(-){}_{\Lambda }t \end{array}\tag{***} \] は自然に全ての次数に延長されます。
\[ \phi _{p,q}\colon \tilde{H}^{p,q}(-)\to \tilde{H}^{p+i,q+j}(-). \] これは次の小節に手短にまとめますが、読み飛ばしていただいても構いません。論文では §2 で丁寧に解説されています。
双安定コホモロジー作用素 [Reduced power, §2]
さて、上のように「対角的な」添字の範囲 (2d,d) で定義されている作用素の、任意の添字 (p,q) への良い延長を探しています。与えられた \( F_\bullet ,p,q \) に対して、懸垂同型を思い出します： \[ \tilde{H}^{p,q}(F_\bullet )\cong \tilde{H}^{p+a+b,q+b}((S^1_s)^{{\Lambda }a} {}_{\Lambda }(S_t^1)^{{\Lambda} b}{}_{\Lambda }F_\bullet )\]（単体的円周 \( S_s^1\) とのスマッシュは第 1 添字のシフトであり、\( S_t^1=(\mathbf{G}_m,1) \) とのスマッシュは (1,1) シフトであるということです。）この式において a,b \(\ge 0\) の値を調整して第 1 添字が第 2 添字の 2 倍になるようにします（まず b を結構大きくして、そのあと a を少しずつ大きくすれば、このような a,b は必ず見つかる）。\( \phi _{p,q} \) をとりあえず次の合成として定義することができます。
\[ \phi _{p,q}\colon \left\{ \begin{array}{lcr}\tilde{H}^{p,q}(F_\bullet )\cong && \\ \tilde{H}^{2(q+b),q+b}(S_s^1{}_{\Lambda }S_t^1{}_{\Lambda }F_\bullet )&\xrightarrow{\phi _{q+b}}&\tilde{H}^{2(q+b)+i,q+b+j}(S_s^1{}_{\Lambda }S_t^1{}_{\Lambda }F_\bullet ) \\ && \cong \tilde{H}^{p+i,q+j}(F_\bullet ). \end{array} \right. \] 与えられた \( (-){}_{\Lambda }t \) との整合性により、この写像は a,b の具体的な選び方によらないことがわかります。
「双安定（bistable）」という言葉は、ふたつの添字のシフトについて変化しないということを表します。具体的には、ふたつの図式 \[ \begin{array}{ccc} \tilde{H}^{p,q}(-) &\xrightarrow{\phi _{p,q}}& \tilde{H}^{p+i,q+j}(-) \\ || && || \\\tilde{H}^{p+1,q}(S_s^1{}_{\Lambda }-)&\xrightarrow{\phi _{p+1,q}}&\tilde{H}^{p+1+i,q+j}(S_s^1{}_{\Lambda }-)\end{array} \] （単体的円周に関する安定性）および、（Tate円周に関する安定性）：
\[ \begin{array}{ccc} \tilde{H}^{p,q}(-) &\xrightarrow{\phi _{p,q}}& \tilde{H}^{p+i,q+j}(-) \\ || && || \\\tilde{H}^{p,q+1}(S_t^1{}_{\Lambda }-)&\xrightarrow{\phi _{p,q+1}}&\tilde{H}^{p+i,q+1+j}(S_t^1{}_{\Lambda }-)\end{array} \] が可換であるということです。いまの状況でこれが成り立っていることは、a,b を適当にとると \( \phi _{p,q},\phi _{p+1,q},\phi _{p,q+1} \) がすべて共通の \( \phi _{q+b} \) を用いて定義できることから従います。
単体的円周に関して安定なコホモロジー作用素 \( \{ \phi _{p,q}\colon \tilde{H}^{p,q}(-)\to \tilde{H}^{p+i,q+j}(-) \} _{p,q} \) は、仮にアプリオリには集合の写像の族であるとしか仮定していなかったとしても、自動的に加法的な写像の族となります。これは安定ホモトピー群が \( \pi _0 \) や \( \pi _1 \) を含めてすべてアーベル群になるのと同じ現象です。
\( P^i, B^i\) と Steenrod square
\( P_2 \) の成分を取り出す操作として、写像 \[ \begin{array}{ccc}C_{i}=C_{i,d}\colon\quad \tilde{H}^{2d,d}(-)&\to &\tilde{H}^{2d+2(d-i)+1,d+(d-i)}(-), \\ D_i=D_{i,d}\colon\quad\tilde{H}^{2d,d}(-)&\to &\tilde{H}^{2d+2(d-i) \phantom{+} ,\ d+(d-i)}(-)\end{array} \] が定まっていました。これを次のように添字づけ直すと双安定作用素の文脈に乗りやすくなります。
\[ \begin{array}{ccc}P^i=P^i_d:= D_{d-i,d}\colon\quad \tilde{H}^{2d,d}(-)&\to &\tilde{H}^{2d+2i\phantom{+},\ d+i}(-),\\ B^i=B^i_d:=C_{d-i,d}\colon\quad \tilde{H}^{2d,d}(-) &\to &\tilde{H}^{2d+i+1,d+i}(-). \end{array}\] （もともとの \( C_{i+1},D_i \) の定義から、アプリオリには \( P^i \) は \( -d\le i\le d \) の範囲で、\(B^i\) は \( -d+1\le i\le d\) の範囲で非自明でありうることに注意しておきましょう。実際には、さらに、負の領域では 0 であることが判明します。）
このとき、族 \( \{ P^i_d\} _d, \{ B^i_d\} _d \) はそれぞれ式 (**) により双安定作用素の条件 (***) をみたします。こうして、すべての \( \tilde{H}^{p,q}\) に対して定義された作用素の族 \[ \begin{array}{lccc} P^i\colon &\tilde{H}^{p,q}(-)&\to &\tilde{H}^{p+2i\phantom{+},\ q+i}(-), \\ B^i\colon &\tilde{H}^{p,q}(-)&\to&\tilde{H}^{p+2i+1,q+i}(-)\end{array} \] を得ます。次数づけは \( l=2 \) の場合を書いていますが、一般の場合は \( P^i \) は次数 \( 2i(l -1), i(l -1)\) , \(B^i\) は次数 \( 2i(l -1)+1,i(l -1) \) の作用素となります。
\( l=2 \) の場合、これらの作用素は Steenrod square の名で知られており、次の記号を使うのが慣例のようです。\[ \begin{array}{r}\mathrm{Sq}^{2i}=P^i\colon\quad \tilde{H}^{p,q}\to \tilde{H}^{p+2i\phantom{+},\ q+i},\\ \mathrm{Sq}^{2i+1}=B^i\colon\quad\tilde{H}^{p,q}\to \tilde{H}^{p+2i+1,q+i}. \end{array}\] 第 1 添字と Sq の添字が一致しているので憶えやすいと思います。
