Steenrod 篇：§8. 冪作用素と Bockstein写像
これも 3 ページからなる小さな節で、定理 [Reduced power, Thm.8.4]：
「任意の次数 \( d\) とコホモロジー類 \( u\in H^{2d,d}(X,\mathbf{Z}/l )\) に対して、\(\beta P_l (u)=0. \) 」
を証明しています。\( P_l \) は既に登場した総冪作用素で、\( \beta \) は下でも説明する Bockstein写像です。
セッティング
Bockstein
\( l \) を素数とします。係数の短完全列 \( 0\to \mathbf{Z}/l\to \mathbf{Z}/l^2\to \mathbf{Z}/l \to 0 \) がコホモロジーに誘導する写像
\[ \beta \colon H^{*,*}(-,\mathbf{Z}/l )\to H^{*+1,*}(-,\mathbf{Z}/l ) \] を Bockstein写像と呼びます。これは 2 回くりかえすと 0 になる、コホモロジーの cup 積に対して施すと Leibniz rule を満たすという性質があるらしいですが、詳しくは勉強中です。
移送写像
論文では曖昧に書いていますが、おそらくここでは群 G は対称群 \( G=S_l \) です。\( U\) を \( S_l \) が自由に作用するようなスキームとし、\( U/S_l \) 上のベクトル束の同型 \( \xi \oplus L\cong \mathscr{O}^N \) を固定します。有限射 \( U\to U/S_l\) が次の移送写像を定義します。
\[ tr\colon \underline{\operatorname{Hom}}(Th_U (L^n),K_{m,R} ) \to \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G} (L^n),K_{m,R} ) . \] ここで \( K_{m,R} \) は重さ m のモチビック・コホモロジーを定義するのに使われる前層 \( K_{m,R}:= R\otimes \frac{\mathbf{Z}_{tr}(\mathbf{A}^m)(-)}{\mathbf{Z}_{tr}(\mathbf{A}^m-\{ 0\} )(-)} \) です。
総冪作用素
対称群 \( S_l \) に対する総冪作用素を、以前と同様に \( P_l\colon BS_l{}_{\Lambda }K_{n,\mathbf{Z}/l} \to K_{nl,\mathbf{Z}/l} \) で書きます。§5 のように、これのもとになる写像 \[ \begin{array}{rl}\tilde{P}_l\colon & Th_{U/G}(L^n){}_{\Lambda }K_{n,\mathbf{Z}/l} \to K_{nN ,\mathbf{Z}/l}\\ \text{i.e., }& K_{n,\mathbf{Z}/l}\to \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G}(L^n),K_{nN,\mathbf{Z}/l}) \end{array} \] も証明の途中で利用するので思い出しておきましょう。（論文では \( \tilde{P}_l\) に対しても次数が \( nl \) と書いてありますが、誤記だと思われます。したがって、論文 §8 の添字はほとんど全て誤記！）
持ち上げの補題
前層 \( \Phi \) を
\[ \Phi := \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G}(L^n),K_{nl, \mathbf{Z}_{(l)}}) / l \operatorname{Im}(tr) \] で定めます。意味がわからないと思いますが、とりあえず分子は \( \mathbf{Z}/l \) 係数ではなく \( \mathbf{Z}_{(l)}\) 係数になっていることに注目しておいてください。
[Reduced power, Lem.8.1]: 総冪作用素 \( \tilde{P}_l\) を持ち上げる、次の図式がある： \[ \begin{array}{rcl} K_{n,\mathbf{Z}/l} &\xrightarrow{\tilde{P}_l} & \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G}(L^n),K_{nN, \mathbf{Z}/l }) \\\exists c\searrow & & \nearrow \\ &\Phi & . \end{array} \] （とくに、図式全体に \( Th_{U/G}(L^n){}_\Lambda (-) \) することで、\( \tilde{P}_l\) の分解 \( \tilde{P}_l\colon Th_{U/G}(L^n){}_\Lambda K_{n,\mathbf{Z}/l} \xrightarrow[id{}_\Lambda c]{} Th_{U/G}(L^n){}_\Lambda \Phi \xrightarrow[a]{} K_{nN,\mathbf{Z}/l} \) を得ます。）
証明. \(K_{n,\mathbf{Z}_{(l)}} \) のふたつの切断の差が別の元の \( l\) 倍になっているとき、その \( \tilde{P}_l \) による像の差が \( l\cdot tr (-) \) の形になっている、というのが示すべきことです。
\[ \begin{array}{ccc} l\cdot K_{n,\mathbf{Z}_{(l)}} && \underline{\operatorname{Hom}}(Th_U (L^n),K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}} ) \\
\cap && \downarrow l\cdot tr \\
K_{n,\mathbf{Z}_{(l)}} &\xrightarrow{\tilde{P}_l}&\underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G} (L^n),K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}} ) \\
\downarrow && \downarrow \\
K_{n,\mathbf{Z}/l} &&\Phi \\
\end{array}\] ここで、写像 \( \tilde{P}_l\) はもともと \( l \) 冪をとる作用素であって、\( \mathbf{Z}_{(l)}\) 係数では加法的ではありませんので、まじめに \[ Z_1, Z_2 \in \mathbf{Z}_{(l),tr} (\mathbf{A}^n)(X) \] の差が \( lW \) の形であったと仮定して、\( \tilde{P}_l(Z_1)-\tilde{P}_l(Z_2) \) を改めて考える必要があります。
計算の前に、簡単な事実を思い出しておきます。他の元 \( Y\) の \( l \) 倍となっている \(\underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G} (L^n),K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}} ) \) の元は \( Y \) の引き戻しの tr ですので、tr の像に属します。したがって、他の元の \( l^2 \) である元は \( l\cdot tr \) に属します。
\( \tilde{P}_l(Z_1) \) つまり \( \tilde{P}_l(Z_2+lW)\) を以前の記事の便宜的な記号で書くと、
\[ \frac{(Z_2+lW)^{\otimes l }\times U}{S_l}\times _{U/S_l} \operatorname{diag}(L^n) \] となります。\( (Z_2+lW)^{\otimes l} \) を展開します（ここで、テンソルの順番は一般には入替えられません）。初めの項は \( \tilde{P}_l(Z_2) \) と打ち消し合います。\( lW\) について 2 次以上の項は係数が \( l^2 \) で割り切れるので、先ほどの簡単な事実により \( l\cdot tr \) に属します。\( lW\) について 1 次の項は
\[ \sum _{i=1}^l Z_2\otimes \dots \otimes Z_2 \otimes \overset{(i)}{lW}\otimes Z_2\otimes \dots \otimes Z_2 \] です。これを \( (l -1)!\) 倍すると、ちょうど \( lW \otimes (Z_2 )^{\otimes l -1} \) の \( S_l\)-軌道になります。\( (l -1)!\) は今の係数環では可逆です。こうしたことから、\( lW \) について 1 次の項の寄与は \( l\cdot tr(\frac{1}{(l -1)!}W\otimes (Z_2)^{\otimes l -1}) \) であることがわかります。補題が示せました。\( \blacksquare \)
[Reduced power, Lem.8.2]: \( u\in \tilde{H}^{2n,n}(K_{n,\mathbf{Z}/l}) \) を、\( K_{n,\mathbf{Z}/l}\) の恒等写像が定める類とする。このとき \[ \beta \tilde{P}(u)\in H^{2nN+1,nN}(Th_{U/G}(L^n){}_\Lambda K_{n,\mathbf{Z}/l}) \] は \( Th_{U}(L^n){}_\Lambda K_{n,\mathbf{Z}/l}\) からの移送写像の像に属する。
証明. 係数の可換図式
\[ \begin{array}{ccccccc}0\to & \mathbf{Z}_{(l)}&\xrightarrow{l} &\mathbf{Z}_{(l)}& \to & \mathbf{Z}/l &\to 0 \\
&\downarrow &&\downarrow && || & \\
0\to & \mathbf{Z}/{l} &\to &\mathbf{Z}/l^2 & \to & \mathbf{Z}/l &\to 0 \end{array} \]
から Bockstein \( \beta \) は合成 \( H^{2nN,nN}(-,\mathbf{Z}/l)\xrightarrow{\tilde{\beta}}H^{2nN+1,nN}(-,\mathbf{Z}_{(l)}) \to H^{2nN+1,nN}(-,\mathbf{Z}/l) \) と書けます。そこで Voevodsky は \( \tilde{\beta}\tilde{P}_l(u) \) について主張を示すと言っています。前層の写像 \[ b\colon \mathbf{Z}_{tr}(K_{n,\mathbf{Z}/l}{}_\Lambda Th_{U/G}(L^n)) \to K_{nN,\mathbf{Z}/l} \] を \( \tilde{P}_l(u) \) に対応するものとします。\( \Phi \) は完全列 \[ 0\to \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U}(L^n),K_{nN, \mathbf{Z}_{(l)} })\xrightarrow{l\cdot tr} \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G}(L^n),K_{nN, \mathbf{Z}_{(l)} }) \to \Phi \to 0 \] で定義されていました。これに \( Th_{U/G}(L^n){}_\Lambda (-) \) して明らかな写像や前の補題の写像 a を合成することにより、下の図式を得ます。\( Th_{U/G}:=Th_{U/G}(L^n), Th_U:= Th_U(L^n) \) と書いています。\[ \begin{array}{ccccccc} &&&&&Th_{U/G}{}_\Lambda K_{n,\mathbf{Z}/l }& \\ &&&&&\downarrow id {}_\Lambda c & \\ 0\to &Th_{U/G}{}_\Lambda \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U},K_{nN, \mathbf{Z}_{(l)} })&\xrightarrow{l\cdot tr} &Th_{U/G}{}_\Lambda \underline{\operatorname{Hom}}(Th_{U/G},K_{nN, \mathbf{Z}_{(l)} }) &\to &Th_{U/G}{}_\Lambda \Phi &\to 0 \\ &{}_{(\mathrm{obvious})\circ tr }\downarrow \quad\quad &&\downarrow &&\downarrow a& \\ 0\to &K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}}&\xrightarrow[l]{}&K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}}&\to &K_{nN,\mathbf{Z}/l }&\to 0 \end{array}\] 右端の縦の合成は、前の補題により \( \tilde{P}_l(u) \) です。\( \tilde{\beta}\tilde{P}_l(u) \) は、右上の \( Th_{U/G}{}_{\Lambda} K_{n,\mathbf{Z}/l} \) から真下へ写像を合成し、連結準同型で \( K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}} [1] \) に行ったものです。連結準同型のタイミングを早めて、\(Th_{U/G}{}_{\Lambda }\Phi \to Th_{U/G}{}_{\Lambda }\underline{\operatorname{Hom}}(-,-)[1] \) を経由しても同じ写像が計算できます：\[ \tilde{\beta}\tilde{P}_l(u)\colon Th_{U/G}{}_{\Lambda }K_{n,\mathbf{Z}/l}\xrightarrow{id {}_{\Lambda }c} Th_{U/G}{}_{\Lambda }\Phi \xrightarrow{\delta } Th_{U/G}{}_{\Lambda } \underline{\operatorname{Hom}} (Th_{U}, K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}})[1] \xrightarrow{(\mathrm{obv.})\circ tr} K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}}[1]. \] 移送写像 \( Th_{U/G} \to Th _{U} \) （移送写像なので、通常と逆向き！）を2行目に補うことで次の図式を与えます。
\[ \begin{array}{ccccccc}\tilde{\beta}\tilde{P}_l(u)\colon Th_{U/G}{}_{\Lambda }K_{n,\mathbf{Z}/l}&\xrightarrow{id {}_{\Lambda }c} &Th_{U/G}{}_{\Lambda }\Phi & \xrightarrow{\delta } &Th_{U/G}{}_{\Lambda } \underline{\operatorname{Hom}} (Th_{U}, K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}})[1] &\xrightarrow{(\mathrm{obv.})\circ tr} &K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}}[1]. \\ tr{}_{\Lambda }id \downarrow &&tr{}_{\Lambda }id \downarrow &&\downarrow tr{}_{\Lambda }id &&|| \\
\phantom{\tilde{\beta}\tilde{P}_l(u)\colon} Th_{U}{}_{\Lambda }K_{n,\mathbf{Z}/l} &\xrightarrow{id {}_{\Lambda }c} &Th_{U}{}_{\Lambda }\Phi & \xrightarrow{\delta } &Th_{U}{}_{\Lambda } \underline{\operatorname{Hom}} (Th_{U}, K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}})[1] &\xrightarrow{(\mathrm{obv.})} &K_{nN,\mathbf{Z}_{(l)}}[1] \end{array} \] こうして、\( \tilde{\beta}\tilde{P}_l(u)\) が別の写像の tr として表せました。\( \blacksquare \)
小さな一般事実
[Reduced power, Lem.8.3]: 任意の点付き単体的前層 \( F_\bullet \) に対して、移送写像 \[ tr\colon \tilde{H}^{*,*}(F_\bullet {}_{\Lambda }Th_{ES_l}(L^n),\mathbf{Z}/l )\to\tilde{H}^{*,*}(F_\bullet {}_{\Lambda }Th_{BS_l}(L^n),\mathbf{Z}/l )\] は零写像である。
証明. 次の合成は \( l!\) 倍すなわち零写像なので（係数は Z/l ）、\[ \tilde{H}^{*,*}(F_\bullet {}_{\Lambda }Th_{BS_l} )\to \tilde{H}^{*,*}(F_\bullet {}_{\Lambda }Th_{ES_l} )\xrightarrow{tr}\tilde{H}^{*,*}(F_\bullet {}_{\Lambda }Th_{BS_l} ), \] ひとつめの写像が全射ならよいですが、\(ES_l\) は可縮なので、Thom同型により中央の群の元はすべて \( ut \) の形です（u は \(F_\bullet \) のコホモロジーから来ていて、t は \( L^n\) の Thom類）。この形の元は \( BS_l\) のコホモロジーにも居るので、ひとつめの写像が全射であることがわかりました。\( \blacksquare \)
証明のしめくくり
このふたつの補題により、\( \beta \tilde{P}_l(u)=0\) in \( H^{2nN+1,nN}(Th_{U/G}(L^n),\mathbf{Z}/l)\) がわかります。
任意の空間 \( F_\bullet \) とコホモロジー類 \( u\in H^{2n,n}(F_\bullet ,\mathbf{Z}/l)\) に対して、\( \beta P_l(u)\in H^{2nl+1,nl}(F_\bullet {}_{\Lambda }Th_{U/G},\mathbf{Z}/l)\) は写像
\[ u\colon F_\bullet \to K_{n,\mathbf{Z}/l} \]
と
\[ \beta \tilde{P}_l\colon K_{n,\mathbf{Z}/l}\to Th_{U/G}(L^n){}_{\Lambda }K_{nN,\mathbf{Z}/l}[1] \]
と Thom 同型
\[ Th_{U/G}{}_{\Lambda }K_{nN,\mathbf{Z}/l}[1]\xleftarrow[\sim ]{\cdot t}(U/G)_+ {}_{\Lambda } K_{nl,\mathbf{Z}/l}[1] \]
の合成です（Thom 同型が Bockstein 写像と可換であることを用いました）。中央の写像は零であることを今しがた確認しましたので、これで \[ \beta P_l(u)=0 \quad \text{ in } H^{2nl+1,nl}(F_\bullet ,\mathbf{Z}/l) \] が示されました。Bockstein と Thom 同型の可換性は、等式 \( \beta (t)=0 \) と \( \beta \) がコホモロジー類の積について Leibniz 則を満たすことから従うと思うのですが、詳しくは勉強中です。
