Hecke指標: 導手を固定してイデールの商を計算 - A1 ホモトピーと Milnor 予想を勉強しているブログ

前の記事で、Hecke指標の構成法を云々しながら気づきましたが、結局のところ私は、知らないうちにイデール群の商を計算しようとしていたのです。そして、この商はエキゾチックなものなどではなく、昔ながらの仲間たちの同窓会のような群なのです。このことを説明します。

Hecke指標の導手, 導手を固定して、ありうるHecke指標を考える, 指標群への帰結

Hecke指標の導手

Hecke指標 $c\colon \mathbf I_k \to S^1$ が与えられたとします。有限個の$\mathfrak p$を除いて、その局所成分 $c_{\mathfrak p}\colon k^*_{\mathfrak p}\to \mathbf C^*$は商$k^*_{\mathfrak p}/ O_{k_{\mathfrak p} }^*$を経由します。

例外的な有限個の有限素点$\mathfrak p$においては、$c_{\mathfrak p}$の$O_{k_{\mathfrak p} }^*$への制限は自明な写像とはなっていません（このような有限素点の集合を$S$と書きましょう。今日は、Sに無限素点は含めない記号の習慣とします、無限素点はつねに別の扱いを受けるので）。制限した写像の核は$O_{k_{\mathfrak p} }^*$ の非自明な開部分群なので、$1+\mathfrak p ^{n_{\mathfrak p}} O_{k_{\mathfrak p} }$の形の部分群を含みます。整数$n_{\mathfrak p}>0$を、これが成り立つ範囲で最小に取っておきます。

このとき、$O_k $のイデアル $\mathfrak f := \prod _{\mathfrak p \in S } \mathfrak p^{n_{\mathfrak p} }$を$c$の導手と呼びます。

$c$の導手が$\mathfrak f$のとき、$c$は$\mathbf I_k$の次のような商からの写像を引き起こします：

\begin{align} &\prod _{\mathfrak p |\infty } k_{\mathfrak p}^* \\ \times &\prod _{\mathfrak p\in S } k_{\mathfrak p} ^* / (1+\mathfrak p ^{n_{\mathfrak p}} O_{k_{\mathfrak p} } ) \\ \times &\prod _{\mathfrak p\not\in S} \mathbf Z . \end{align}

この群を $C(\mathfrak f)$ と書くことにします。

（記号はNeukirch「Algebraic Number Theory」p. 481 に倣いました。）

素元を選ぶと$k_{\mathfrak p} ^* / (1+\mathfrak p ^{n_{\mathfrak p}} O_{k_{\mathfrak p} } ) \cong \mathbf Z \oplus O_{k_{\mathfrak p} }^*/ (1+\mathfrak p ^{n_{\mathfrak p}} O_{k_{\mathfrak p} } )$ですが、素元は選ばすにいた方が、あとで見通し良く計算できます。

導手を固定して、ありうるHecke指標を考える

逆に、導手 $\mathfrak f$ を先に固定して考え始めることもできます。

個人的好みや、Neukirchの記号に従い、ここからは文字$\mathfrak f$よりも$\mathfrak m $を用いることにします。

導手が $\mathfrak m $ を割り切るようなHecke指標とは、連続写像

\[ C(\mathfrak m ) \to S^1 \]

に他なりません。もしも、群$C(\mathfrak m) $がバシッと記述できれば、ありうるHecke指標も一挙に分かるわけです。

その計算結果がNeukirch p. 481 に載ってしまっていたので、今から紹介します。

記号の準備をします。非零イデアル$\mathfrak m\subset O_k$に対して、

\[ O_{k,1+\mathfrak m}^* := \ker (O_k^* \to (O_k / \mathfrak m)^*) \quad (= O_k^*\cap (1+\mathfrak m ) ). \]

また、モジュラス付きイデアル類群$Cl (O_k,\mathfrak m) $を次のように定義します。

まず、$O_{k,S}$を、SpecがちょうどSとなるような$O_k$の局所化とします。（もしも$S$が一点 $\{ \mathfrak p\} $ なら、$O_{k,S}=O_{k,\mathfrak p}$ となり通常の局所化の記号と整合しています）。

$\mathfrak m $と互いに素な分数イデアル全体のなす群$\bigoplus _{\mathfrak p\not\in S }\mathbf Z $を、乗法的な群$(1+\mathfrak m O_{k,S} )^*$ の像で割った群を$Cl (O_k,\mathfrak m )$とします。$\alpha $の符号は考慮しません。

定理

次の短完全系列がある。

\[ 0\to (k\otimes _{\mathbf Q} \mathbf R)^* / O_{k,1+\mathfrak m}^* \to C(\mathfrak m) \to Cl(O_k,\mathfrak m) \to 0. \]

群をいろいろに切り刻んで、蛇の補題で部分ごとに計算すると、出来ます。

自分むけに、ひとつの方法を書き記しておきます。

予備の計算として、

\[ k^* \to \prod _{\mathfrak p\in S } k_{\mathfrak p} ^* / (1+\mathfrak p ^{n_{\mathfrak p}} O_{k_{\mathfrak p} } ) \times \prod _{\mathfrak p\not\in S} \mathbf Z \quad =:Z \] の余核を求めておきます。終域の群がゴツいので $Z$ と書くことにしました。図式

\[ \begin{array}{rcccl} 1&\to &k^*& \xrightarrow{=}& k^* \to 1 \\ \downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\ 0\to \prod _{\mathfrak p\not\in S} \mathbf Z &\to &Z &\to &\prod _{\mathfrak p\in S } k_{\mathfrak p} ^* / (1+\mathfrak p ^{n_{\mathfrak p}} O_{k_{\mathfrak p} } ) \to 0 \end{array} \]

に蛇の補題を適用します。右端の縦向きの写像は、近似定理により全射です。核は、環の局所化に少々慣れていると分かるように、$(1+\mathfrak m O_{k,S} )^*$です。

（少なくとも、この集合が核に含まれているのは明らかで、逆の包含は、ウーム。$\alpha $が核に含まれていると仮定します。$\alpha $は$S$の各点では少なくとも$O_{k,\mathfrak p}$の元であることが要請されているので、$O_{k,S}$に属します（デデキント環ないし1次元整域であることを使っている気がします）。$\alpha -1$が各$\mathfrak p\in S$に対して$ p^{n_{\mathfrak p}} O_{k_{\mathfrak p}}$ に属すると言っていますが、これと$O_{k,S}$との交わりは$\mathfrak p^{n_{\mathfrak p}}O_{k,S}$です。これを$\cap _{\mathfrak p\in S}$すると$ \mathfrak m O_{k,S}$ となります。）

中央の縦向きの写像の核をker, 余核をcokerと書くことにすると、蛇の補題により次の完全系列を得ます：

\[ 0\to ker \to (1+\mathfrak m O_{k,S} )^* \xrightarrow{(??)} \prod _{\mathfrak p\not\in S} \mathbf Z \to coker \to 0. \]

写像(??)は、蛇の補題により与えられている接続準同型です。同補題の証明を思い出してdiagram chasingを行うと、単に付値をとる写像であることが確認できます。

この写像の核と余核は、ゆっくり考えることにより、

\[ ker = O_{k,1+\mathfrak m}^*, \quad coker = Cl (O_k,\mathfrak m) \]

とわかります。（余核のほうは定義そのものです。核のほうは、$1+\alpha \in 1+\mathfrak m O_{k,S}$が核に属するとすると、$1+\alpha $はすべての有限素点の局所環で可逆な元となり、$O_k^*$に属することがわかります。したがって特に$\alpha \in O_k \cap \mathfrak m O_{k,S}$となりますが、この交わりは局所化の初歩的性質により$\mathfrak m $です。よって$1+\alpha \in O_k^* \cap (1+\mathfrak m)$と分かります。）

さて、定理を証明するために、次の図式に蛇の補題を適用します：

\[ \begin{array}{rcccl} 0&\to &k^*&\xrightarrow{=}&k^* \to 0 \\ \downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\ 0 \to (k\otimes \mathbf R)^*&\to &C(\mathfrak m)&\to &Z \to 0 . \end{array} \]

中央の縦向きの写像は明らかに単射です（無限素点に対する$k^*\hookrightarrow k^*_{\mathfrak p}$を含んでいるので）。余核を、coker' と書くことにします。右端の縦向きの写像の核と余核を先ほど計算しました。したがって：

\[ 0\to O_{k,1+\mathfrak m}^* \xrightarrow{(???)} (k\otimes \mathbf R)^*\to coker' \to Cl (O_{k},\mathfrak m) \to 0 \]

を得ます。蛇の補題の接続準同型は、diagram chasing で定義を追うことができ、この場合はすなおな包含写像であることが判明します。こうして定理の主張を得ます。◼️

指標群への帰結

指標をとる操作は完全関手なので、つぎの短完全系列を得ます：

\[ 0\to Cl (O_k,\mathfrak m)\widehat{\phantom{a}} \to C(\mathfrak m)\widehat{\phantom{a}} \to [(k\otimes \mathbf R)^*/ O_{k,1+\mathfrak m} ^* ]\widehat{\phantom{a}} \to 0 \]

つまり、実トーラス$\times \mathbf R $ である $(k\otimes \mathbf R)^*/ O_{k,1+\mathfrak m} ^*$と、有限アーベル群$Cl (O_k,\mathfrak m)$上でFourier解析をしていれば、$C(\mathfrak m)$のことが大体わかると言うことですね！

ちなみに何故$(k\otimes \mathbf R)^*/ O_{k,1+\mathfrak m} ^*$が実トーラス$\times \mathbf R $なのかも説明しておきます。$\mathbf C^*\cong \mathbf R_{>0}^* \times S^1 $です。Dirichletの単数定理を証明するときの要領で

\[ \begin{array}{rcccl} 1\to \mu (O_{k,1+\mathfrak m})&\to & O_{k,1+\mathfrak m}^* &\to & O_{k,1+\mathfrak m}^*/(tors.) \to 1 \\ \downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\ 0\to \{ \pm 1\} ^{r_1}\times (S^1)^{r_2} &\to &(k\otimes \mathbf R)^*&\xrightarrow{\log } & \mathbf R^{r_1+r_2} \to 0 .\end{array} \]

左端の縦向きの写像の余核は実トーラス、右端の写像の余角はDirichletの単数定理により実トーラス$\times \mathbf R $なので、中央も同様だとわかります。

（この分解は、応用の際にも用いられる気がします。応用の際には、$\times \mathbf R $ の方向に関して一定な関数を主に考えることになりそうです。）

おわり